Área entre dos curvas

La idea

Si en el intervalo [a, b] la gráfica de f queda por encima de la de g, el área de la región comprendida entre ambas es ∫ₐᵇ [f(x) − g(x)] dx: en cada franja vertical delgada la altura es f(x) − g(x), la diferencia entre el techo y el suelo. No importa que alguna de las curvas esté bajo el eje X, porque la diferencia sigue midiendo la altura de la franja.

Cuando las curvas se cruzan dentro del intervalo hay que localizar los puntos de corte resolviendo f(x) = g(x) y partir la integral en tramos: en cada uno se integra la función que está arriba menos la que está abajo. En una sola fórmula, el área es ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx. Si las curvas no tienen cortes explícitos, se hallan numéricamente con bisección o Newton.

A veces es más cómodo integrar respecto a y: si la región está limitada por x = h(y) a la derecha y x = k(y) a la izquierda, el área es ∫ [h(y) − k(y)] dy con franjas horizontales. Elegir bien la variable evita partir la región en trozos y simplifica los cálculos.

Fórmulas clave

• f por encima de gA = ∫ₐᵇ [f(x) − g(x)] dx
• Caso generalA = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx
• Puntos de cortef(x) = g(x) ⇒ raíces de h(x) = f(x) − g(x)
• Franjas horizontalesA = ∫꜀ᵈ [h(y) − k(y)] dy
• Ejemplo clásico∫₀¹ (x − x²) dx = 1/2 − 1/3 = 1/6

Dónde se aplica

En economía, el excedente del consumidor es el área entre la curva de demanda y la recta horizontal del precio de equilibrio, y el excedente del productor la que queda entre esa recta y la curva de oferta. En ingeniería estructural, el área entre el diagrama de esfuerzo cortante y el eje da el momento flector. Y en el análisis de datos, el área entre la curva ROC de un clasificador y la diagonal mide cuánto mejora el modelo respecto al azar.

Con programación (Python)

# Área entre f(x) = x^2 y g(x) = x + 2 (se cortan en x = -1 y x = 2)
def biseccion(h, a, b, tol=1e-10):
    while b - a > tol:
        m = (a + b) / 2
        if h(a) * h(m) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return (a + b) / 2

def simpson(h, a, b, n=1000):
    dx = (b - a) / n
    s = h(a) + h(b)
    for i in range(1, n):
        s += (4 if i % 2 else 2) * h(a + i * dx)
    return s * dx / 3

f = lambda x: x * x
g = lambda x: x + 2
h = lambda x: f(x) - g(x)
x1 = biseccion(h, -3, 0)
x2 = biseccion(h, 0, 3)
print("Cortes:", round(x1, 6), round(x2, 6))
area = simpson(lambda x: abs(h(x)), x1, x2)
print("Área entre las curvas:", round(area, 6), "(exacta 4.5)")

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