Distribución binomial

La idea

Un ensayo de Bernoulli es un experimento con solo dos resultados: éxito, con probabilidad p, o fracaso, con probabilidad 1 − p. Si repetimos el ensayo n veces de forma independiente y contamos los éxitos, la variable X que resulta sigue la distribución binomial B(n, p). Lanzar 10 monedas y contar caras, revisar 50 piezas y contar defectuosas o encuestar a 200 personas y contar cuántas votan a un partido son ejemplos del mismo esquema.

La función de masa P(X = k) = C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ se entiende en dos partes: pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ es la probabilidad de una secuencia concreta con k éxitos, y el número combinatorio C(n, k) cuenta cuántas secuencias distintas colocan esos k éxitos entre n posiciones. Sumando sobre todos los k se obtiene 1, como garantiza el binomio de Newton, de donde viene el nombre de la distribución.

Su media es np y su varianza np(1 − p): con 100 lanzamientos de una moneda equilibrada esperamos 50 caras con desviación típica 5. Cuando n es grande la forma de la binomial se aproxima a una campana (teorema central del límite), y cuando p es muy pequeño y n muy grande se aproxima a una distribución de Poisson de parámetro λ = np. Estas dos aproximaciones hacen de la binomial el puente entre el conteo discreto y las distribuciones continuas.

Fórmulas clave

• Función de masaP(X = k) = C(n, k) · pᵏ · (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
• Número combinatorioC(n, k) = n! / [k! (n − k)!]
• MediaE[X] = n p
• VarianzaVar(X) = n p (1 − p)
• AcumuladaP(X ≤ k) = Σᵢ₌₀ᵏ C(n, i) pⁱ (1 − p)ⁿ⁻ⁱ

Dónde se aplica

En control de calidad, un fabricante que acepta un lote solo si en una muestra de 20 piezas hay como máximo una defectuosa calcula con la binomial la probabilidad de aceptar lotes buenos y rechazar malos. Las pruebas A/B de una web comparan el número de conversiones entre dos versiones, cada uno una binomial con su p. En genética, el número de hijos con un rasgo recesivo entre n descendientes de padres portadores es B(n, 1/4), y en telecomunicaciones el número de bits erróneos en un paquete de n bits con probabilidad de error p sigue la misma ley.

Con programación (Python)

import math

def binomial_pmf(n, p, k):
    return math.comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)

n, p = 10, 0.3
print("B(10, 0.3): media =", n * p, " varianza =", round(n * p * (1 - p), 4))
for k in range(n + 1):
    print(f"P(X = {k:2d}) = {binomial_pmf(n, p, k):.4f}")

# Probabilidad de al menos 5 éxitos
p_al_menos_5 = sum(binomial_pmf(n, p, k) for k in range(5, n + 1))
print("P(X >= 5) =", round(p_al_menos_5, 4))

# Control de calidad: aceptar el lote si hay <= 1 defectuosa en 20 (p = 0.05)
acepta = sum(binomial_pmf(20, 0.05, k) for k in range(2))
print("P(aceptar lote con 5 % de defectos) =", round(acepta, 4))

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