Cuartiles y diagrama de caja

La idea

Los cuantiles dividen los datos ordenados en partes con la misma cantidad de observaciones. El percentil p es el valor por debajo del cual queda el p % de los datos; los cuartiles Q₁, Q₂ y Q₃ son los percentiles 25, 50 y 75, y Q₂ coincide con la mediana. Cuando la posición (n − 1)·p no es entera se interpola linealmente entre los dos datos vecinos, que es el criterio más extendido en las bibliotecas de software.

El rango intercuartílico IQR = Q₃ − Q₁ mide la anchura de la mitad central de los datos y, a diferencia del rango, es robusto: un valor extremo no lo altera. Esa robustez permite una regla práctica para detectar valores atípicos: se consideran sospechosos los datos que quedan por debajo de Q₁ − 1,5·IQR o por encima de Q₃ + 1,5·IQR, las llamadas vallas de Tukey.

El diagrama de caja (box plot) representa todo esto de un vistazo: una caja de Q₁ a Q₃ con una línea en la mediana, dos bigotes que se extienden hasta el dato más alejado que aún está dentro de las vallas, y puntos sueltos para los atípicos. La posición de la mediana dentro de la caja y la longitud relativa de los bigotes revelan la asimetría, y colocar varias cajas una junto a otra es la forma más eficaz de comparar grupos: ciudades, tratamientos, versiones de un producto.

Fórmulas clave

• Posición del cuantil ppos = (n − 1)·p, Q = x₍⌊pos⌋₎ + (pos − ⌊pos⌋)·(x₍⌈pos⌉₎ − x₍⌊pos⌋₎)
• CuartilesQ₁ = P₂₅, Q₂ = P₅₀ = mediana, Q₃ = P₇₅
• Rango intercuartílicoIQR = Q₃ − Q₁
• Vallas de Tukey[Q₁ − 1,5·IQR, Q₃ + 1,5·IQR]
• Resumen de cinco números(mín, Q₁, mediana, Q₃, máx)

Dónde se aplica

Las curvas de crecimiento pediátricas sitúan el peso y la talla de un niño en un percentil respecto a su edad, y un cambio brusco de percentil es una señal de alerta. En monitorización de servidores se reporta el percentil 99 de la latencia, porque la media oculta a la minoría de usuarios que sufre esperas largas. En análisis exploratorio de datos, el diagrama de caja es el primer gráfico que se dibuja para comparar grupos y detectar errores de medida o registros anómalos antes de entrenar cualquier modelo.

Con programación (Python)

def cuantil(datos, p):
    b = sorted(datos)
    pos = (len(b) - 1) * p
    lo = int(pos)
    hi = min(lo + 1, len(b) - 1)
    return b[lo] + (b[hi] - b[lo]) * (pos - lo)

datos = [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 40]
q1, q2, q3 = (cuantil(datos, p) for p in (0.25, 0.5, 0.75))
iqr = q3 - q1
inf, sup = q1 - 1.5 * iqr, q3 + 1.5 * iqr
print(f"Q1={q1}  mediana={q2}  Q3={q3}  IQR={iqr}")
print(f"Vallas de Tukey: [{inf}, {sup}]")
atipicos = [x for x in datos if x < inf or x > sup]
normales = [x for x in datos if inf <= x <= sup]
print("Atípicos:", atipicos)
print("Bigotes:", min(normales), "→", max(normales))
print("Percentil 90:", cuantil(datos, 0.9))

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