Correlación

La idea

Cuando medimos dos variables sobre los mismos individuos (altura y peso, horas de estudio y nota) queremos saber si «van juntas». La covarianza promedia el producto de las desviaciones de cada variable respecto a su media: es positiva si cuando una está por encima de su media la otra también suele estarlo, y negativa si se mueven en sentidos opuestos. Pero su valor depende de las unidades, así que se normaliza dividiendo por ambas desviaciones típicas.

El resultado es el coeficiente de correlación de Pearson r, un número entre −1 y 1. Cerca de 1 indica una relación lineal creciente casi perfecta; cerca de −1, decreciente; cerca de 0, ausencia de relación lineal. Esa última palabra es crucial: y = x² sobre un intervalo simétrico tiene r = 0 pese a que y queda perfectamente determinada por x. El cuarteto de Anscombe, cuatro conjuntos con idéntico r = 0,816 pero nubes de puntos totalmente distintas, es el recordatorio clásico de que hay que dibujar los datos antes de resumirlos.

Y la advertencia más importante: correlación no implica causalidad. Las ventas de helados y los ahogamientos están correlacionados porque ambos dependen del calor (una variable de confusión); el número de bomberos y los daños de un incendio, porque ambos crecen con el tamaño del fuego. Establecer causalidad exige experimentos controlados o métodos específicos; la correlación solo señala dónde merece la pena mirar.

Fórmulas clave

• Covarianzas_xy = (1/n) Σ (xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)
• Coeficiente de Pearsonr = s_xy / (s_x s_y) = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / √[Σ(xᵢ − x̄)² Σ(yᵢ − ȳ)²]
• Rango de valores−1 ≤ r ≤ 1
• Invarianciar(a x + b, c y + d) = signo(a c) · r(x, y)
• Coeficiente de determinaciónR² = r² (fracción de varianza explicada por la recta)

Dónde se aplica

En gestión de carteras se combinan activos poco correlacionados para reducir el riesgo total sin renunciar a rentabilidad: la diversificación es, literalmente, buscar correlaciones bajas. En genómica, la correlación entre los niveles de expresión de miles de genes permite agruparlos en módulos funcionales. Y en sistemas de recomendación, la similitud entre dos usuarios se calcula como la correlación de Pearson entre las puntuaciones que han dado a los mismos productos.

Con programación (Python)

import math

def pearson(x, y):
    n = len(x)
    mx, my = sum(x) / n, sum(y) / n
    sxy = sum((a - mx) * (b - my) for a, b in zip(x, y))
    sxx = sum((a - mx) ** 2 for a in x)
    syy = sum((b - my) ** 2 for b in y)
    return sxy / math.sqrt(sxx * syy)

x = [1, 2, 3, 4, 5]
y = [2, 4, 5, 4, 5]
print("r =", round(pearson(x, y), 4))

# Cuarteto de Anscombe (I y II): mismo r, formas distintas
xa = [10, 8, 13, 9, 11, 14, 6, 4, 12, 7, 5]
y1 = [8.04, 6.95, 7.58, 8.81, 8.33, 9.96, 7.24, 4.26, 10.84, 4.82, 5.68]
y2 = [9.14, 8.14, 8.74, 8.77, 9.26, 8.10, 6.13, 3.10, 9.13, 7.26, 4.74]
print("Anscombe I :", round(pearson(xa, y1), 4))
print("Anscombe II:", round(pearson(xa, y2), 4))

# Relación no lineal perfecta con r = 0
xs = [-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3]
print("y = x² →", round(pearson(xs, [v * v for v in xs]), 4))

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