Crecimiento y decaimiento exponencial

La idea

Una ecuación diferencial relaciona una función desconocida con sus derivadas. La más sencilla y la más utilizada de todas es y′ = k y: la velocidad de cambio de una magnitud es proporcional a la cantidad presente en cada instante. Se resuelve separando variables: al escribirla como dy/y = k dt e integrar ambos lados se obtiene ln|y| = k t + C, y despejando aparece la familia de soluciones y(t) = C e^(k t). La condición inicial y(0) = y₀ fija la constante y deja una única solución: y(t) = y₀ e^(k t).

El signo de k lo decide todo. Si k es positiva hay crecimiento acelerado: la magnitud se multiplica por el mismo factor en intervalos iguales, y el tiempo de duplicación vale t₂ = ln 2 / k. Si k es negativa hay decaimiento hacia cero y se habla de vida media, t½ = ln 2 / |k|, el tiempo que tarda la cantidad en reducirse a la mitad. Lo notable es que ni el tiempo de duplicación ni la vida media dependen de y₀: son propiedades de la ecuación, no del punto de partida. Esa invariancia es la firma inconfundible del modelo exponencial.

El modelo describe bien la realidad mientras no haya ningún freno: poblaciones sin competencia, capital con interés continuo, núcleos radiactivos, fármacos eliminados por el riñón. Cuando aparece un límite hay que corregirlo, y ahí nace la ecuación logística. En el terreno numérico, aplicar el método de Euler a y′ = ky da yₙ₊₁ = yₙ (1 + h k), de modo que y(T) se aproxima por y₀ (1 + h k)^(T/h); esa expresión tiende a y₀ e^(kT) sólo cuando el paso h se hace pequeño, lo que convierte a esta ecuación en el banco de pruebas clásico para comparar métodos numéricos.

Fórmulas clave

• Ecuacióndy/dt = k y, y(0) = y₀
• Solucióny(t) = y₀ e^(k t)
• Tiempo de duplicaciónt₂ = ln 2 / k (k > 0)
• Vida mediat½ = ln 2 / |k| (k < 0)
• Interés continuoC(t) = C₀ e^(i t)
• Paso de Euleryₙ₊₁ = yₙ + h k yₙ = yₙ (1 + h k)

Dónde se aplica

La datación por carbono-14 mide qué fracción del isótopo queda en una muestra y despeja el tiempo con t = ln(1/f)/λ, donde λ = ln 2 / 5730 años; así se fechan huesos, pinturas y pergaminos. En farmacología, la concentración de un medicamento en sangre decae exponencialmente y su vida media determina cada cuántas horas hay que repetir la dosis. En finanzas, el interés compuesto continuo C₀e^(it) es el límite de capitalizar infinitas veces al año, y en epidemiología la fase inicial de un brote crece exponencialmente antes de que los contagios encuentren su primer freno.

Con programación (Python)

import math

def y(t, y0, k):
    return y0 * math.exp(k * t)

# Crecimiento continuo al 3 % anual
k = 0.03
print("Tiempo de duplicación:", round(math.log(2) / k, 3), "años")
print("Población tras 50 años:", round(y(50, 1000, k), 3))

# Decaimiento del carbono-14 (vida media 5730 años)
lam = math.log(2) / 5730
print("Constante de decaimiento:", lam)
print("Edad de una muestra con 35 % de C-14:", round(math.log(1 / 0.35) / lam, 1), "años")

# Interés continuo del 5 % durante 10 años
print("Capital final de 1000:", round(1000 * math.exp(0.05 * 10), 2))

# Euler frente a la solución exacta (k = 1, y0 = 1, t = 1)
h, yn = 0.1, 1.0
for _ in range(10):
    yn = yn + h * yn
print("Euler con h = 0.1:", round(yn, 6), " exacto e =", round(math.e, 6))

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