La derivada como límite

La idea

La derivada de f en un punto x₀ mide cuánto cambia f por unidad de cambio de x justo en ese punto. Se construye a partir del cociente incremental [f(x₀ + h) − f(x₀)] / h, que es la tasa de variación media entre x₀ y x₀ + h; al hacer h → 0 ese cociente tiende, si la función es suficientemente suave, a un valor límite: f'(x₀). Una función que tiene derivada en un punto se dice derivable allí, y ser derivable implica ser continua, aunque no al revés: |x| es continua en 0 pero no derivable, porque tiene una esquina.

Geométricamente, el cociente incremental es la pendiente de la recta secante que une los puntos (x₀, f(x₀)) y (x₀ + h, f(x₀ + h)). Cuando h se hace pequeño el segundo punto resbala hacia el primero y la secante gira hasta convertirse en la recta tangente: la derivada es la pendiente de la tangente. Físicamente, si f(t) es la posición de un móvil, el cociente es su velocidad media en el intervalo y la derivada su velocidad instantánea; derivar de nuevo da la aceleración.

Aplicando la definición a las funciones elementales se obtienen las reglas básicas: (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹, (sen x)' = cos x, (cos x)' = −sen x, (eˣ)' = eˣ, (ln x)' = 1/x, y la derivada de una suma o de una constante por una función se calcula término a término. En la práctica numérica la derivada se aproxima con el cociente incremental para h pequeño; la diferencia central [f(x₀ + h) − f(x₀ − h)] / (2h) es mucho más precisa, aunque un h demasiado diminuto amplifica los errores de redondeo del ordenador.

Fórmulas clave

• Definiciónf'(x₀) = lim_{h→0} [f(x₀ + h) − f(x₀)] / h
• Pendiente de la secantem_sec = [f(x₀ + h) − f(x₀)] / h
• Diferencia central (numérica)f'(x₀) ≈ [f(x₀ + h) − f(x₀ − h)] / (2h)
• Potencias(xⁿ)' = n xⁿ⁻¹
• Elementales(sen x)' = cos x, (eˣ)' = eˣ, (ln x)' = 1/x
• Velocidad y aceleraciónv(t) = s'(t), a(t) = v'(t) = s''(t)

Dónde se aplica

Un GPS estima tu velocidad derivando la posición respecto al tiempo, y el velocímetro de un coche hace lo mismo con las vueltas de la rueda. En economía, el coste marginal es la derivada del coste total: cuánto cuesta producir una unidad más. En aprendizaje automático, entrenar una red neuronal consiste en calcular millones de derivadas del error respecto a los parámetros (retropropagación) para saber en qué dirección corregirlos, y en medicina la tasa de crecimiento de un tumor o la velocidad de eliminación de un fármaco son derivadas de curvas medidas en el paciente.

Con programación (Python)

import math

def cociente(f, x0, h):
    return (f(x0 + h) - f(x0)) / h

def central(f, x0, h):
    return (f(x0 + h) - f(x0 - h)) / (2 * h)

f = lambda x: x ** 2
print("f(x) = x^2, derivada exacta en x0 = 3: 6")
h = 1.0
for _ in range(6):
    print(f"h={h:<8.6g} cociente={cociente(f, 3, h):.8f}")
    h /= 10

x0 = math.pi / 3
print("\nsen'(pi/3) exacta = cos(pi/3) =", math.cos(x0))
print("adelante h=0.01:", cociente(math.sin, x0, 0.01))
print("central  h=0.01:", central(math.sin, x0, 0.01))

# Velocidad instantánea de s(t) = 4.9 t^2 en t = 2 s
s = lambda t: 4.9 * t * t
print("\nvelocidad en t = 2 s:", central(s, 2, 1e-6), "m/s  (exacta 19.6)")

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