El determinante

La idea

El determinante de una matriz 2×2 es el número ad − bc, y tiene un significado geométrico muy concreto: es el área con signo del paralelogramo que forman sus dos columnas vistas como vectores. El valor absoluto da el área y el signo indica la orientación: positivo si al ir de la primera columna a la segunda giramos en sentido antihorario, negativo si lo hacemos al contrario. En 3×3 el determinante es el volumen con signo del paralelepípedo generado por las tres columnas.

Para calcularlo en 3×3 se usa la regla de Sarrus, que suma los tres productos de las diagonales descendentes y resta los tres de las ascendentes, o el desarrollo por cofactores, que reduce el problema a determinantes de orden menor y sirve para cualquier tamaño. En la práctica, con matrices grandes se escalona por Gauss y se multiplican los pivotes, porque el desarrollo por cofactores exige del orden de n factorial operaciones y resulta inviable.

Sus propiedades lo convierten en una herramienta versátil: es lineal en cada columna, cambia de signo al intercambiar dos filas o dos columnas, no varía si a una fila le sumamos un múltiplo de otra, se multiplica por k si multiplicamos una fila por k, y cumple det(A·B) = det(A)·det(B) junto con det(Aᵗ) = det(A). Lo más importante es su papel de diagnóstico: el determinante vale cero exactamente cuando las columnas son linealmente dependientes, es decir, cuando la matriz aplasta el espacio y por tanto no tiene inversa.

Fórmulas clave

• Determinante 2×2det [[a, b], [c, d]] = a d − b c
• Área del paralelogramoÁrea = |det A|
• Regla de Sarrus (3×3)det = aei + bfg + cdh − ceg − bdi − afh
• Productodet(A·B) = det(A) · det(B)
• Inversa y transpuestadet(A⁻¹) = 1 / det(A), det(Aᵗ) = det(A)
• Criterio de singularidaddet(A) = 0 ⇔ A no es invertible

Dónde se aplica

En cálculo de varias variables, el jacobiano —un determinante— es el factor por el que hay que multiplicar al cambiar de variables en una integral doble o triple: es el que explica el famoso «r dr dθ» de las coordenadas polares. En topografía y sistemas de información geográfica, el área de una parcela poligonal se calcula sumando determinantes 2×2 de sus vértices consecutivos (fórmula del zapatero). En computación gráfica, el signo del determinante decide si un triángulo mira hacia la cámara y puede descartarse, y en geometría computacional el mismo signo responde a «¿están estos tres puntos alineados o giran a izquierda o a derecha?».

Con programación (Python)

def det2(M):
    return M[0][0]*M[1][1] - M[0][1]*M[1][0]

def det3_sarrus(M):
    a, b, c = M[0]
    d, e, f = M[1]
    g, h, i = M[2]
    return a*e*i + b*f*g + c*d*h - c*e*g - b*d*i - a*f*h

def det3_cofactores(M):
    total = 0
    for j in range(3):
        menor = [[M[r][k] for k in range(3) if k != j] for r in (1, 2)]
        total += ((-1) ** j) * M[0][j] * det2(menor)
    return total

A = [[2, 1], [1, 3]]
print("det A =", det2(A), "-> area del paralelogramo =", abs(det2(A)))
print("det de [[2,1],[4,2]] =", det2([[2, 1], [4, 2]]), "-> columnas alineadas, singular")
print("al intercambiar columnas de A:", det2([[1, 2], [3, 1]]), "(cambia el signo)")

M = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 10]]
print("Sarrus     :", det3_sarrus(M))
print("Cofactores :", det3_cofactores(M))

P, Q, R = (1, 1), (5, 2), (3, 6)
area = abs(det2([[Q[0]-P[0], R[0]-P[0]], [Q[1]-P[1], R[1]-P[1]]])) / 2
print("Area del triangulo PQR:", area)

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