Medidas de dispersión

La idea

Dos conjuntos pueden tener la misma media y ser completamente distintos: en uno todos los valores están pegados al centro y en el otro se reparten por todas partes. Las medidas de dispersión cuantifican esa diferencia. La más simple es el rango, máximo menos mínimo, fácil de calcular pero frágil: depende únicamente de dos datos y cualquier valor atípico lo dispara.

La varianza σ² es la media de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media. Elevar al cuadrado evita que las desviaciones positivas y negativas se cancelen y castiga más a las grandes. Como queda en unidades al cuadrado (metros², euros²), se toma la raíz para obtener la desviación típica σ, que vuelve a estar en las unidades originales y se interpreta como la «distancia típica» de un dato a la media. Cuando los datos son una muestra y queremos estimar la dispersión de toda la población, se divide entre n − 1 en lugar de n (corrección de Bessel), lo que compensa que la media muestral está más cerca de los datos que la media verdadera.

Para datos con forma de campana rige la regla empírica: alrededor del 68 % de los valores está a menos de una desviación típica de la media, el 95 % a menos de dos y el 99,7 % a menos de tres. Por último, el coeficiente de variación CV = σ/x̄ expresa la dispersión como fracción de la media: es adimensional y permite comparar la variabilidad de magnitudes con unidades o escalas distintas, como el peso de elefantes y de ratones.

Fórmulas clave

• RangoR = máx(xᵢ) − mín(xᵢ)
• Varianza poblacionalσ² = (1/n) Σ (xᵢ − x̄)²
• Varianza muestrals² = [1/(n − 1)] Σ (xᵢ − x̄)²
• Desviación típicaσ = √σ², s = √s²
• Coeficiente de variaciónCV = σ / x̄ (a menudo en %)
• Regla empírica (normal)±1σ ≈ 68 %, ±2σ ≈ 95 %, ±3σ ≈ 99,7 %

Dónde se aplica

En finanzas, la desviación típica de los rendimientos diarios de un activo es su volatilidad, la medida estándar del riesgo con la que se valoran opciones y se construyen carteras. En metrología, la incertidumbre de un instrumento se declara como una desviación típica, y un laboratorio compara equipos mediante el coeficiente de variación. En aprendizaje automático se estandarizan las variables restando la media y dividiendo por la desviación típica para que ninguna domine el entrenamiento por tener una escala mayor.

Con programación (Python)

import math, statistics as st

def resumen(nombre, datos):
    n = len(datos)
    media = sum(datos) / n
    sc = sum((x - media) ** 2 for x in datos)
    var_p, var_m = sc / n, sc / (n - 1)
    sigma = math.sqrt(var_p)
    print(f"{nombre}: media={media:.3f}  rango={max(datos) - min(datos)}")
    print(f"   var. poblacional={var_p:.3f}  var. muestral={var_m:.3f}")
    print(f"   sigma={sigma:.3f}  CV={100 * sigma / media:.1f} %")

A = [2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9]
B = [10 * x for x in A]   # misma forma, escala x10: el CV coincide
resumen("A", A)
resumen("B", B)
print("Comprobación con statistics:", st.pstdev(A), round(st.stdev(A), 4))

La versión en JavaScript, editable y ejecutable en el navegador, está en la página interactiva del tema.

Temas relacionados

Media, mediana y moda · Distribución normal · Esperanza y varianza · Cuartiles y diagrama de caja