La elipse

La idea

La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, los focos, es constante e igual a 2a. Si clavas dos chinchetas, atas un hilo entre ellas y deslizas un lápiz manteniéndolo tenso, dibujas una elipse: la longitud del hilo es 2a.

Con centro en el origen y focos sobre el eje X, la ecuación es x²/a² + y²/b² = 1, donde a es el semieje mayor, b el semieje menor y los focos están a distancia c = √(a² − b²) del centro. La excentricidad e = c/a, entre 0 y 1, mide cuánto se aleja la elipse de una circunferencia (e = 0).

La primera ley de Kepler afirma que los planetas describen elipses con el Sol en un foco. La elipse también tiene propiedad reflectora: un sonido emitido en un foco se concentra en el otro, fenómeno de las «galerías de los susurros».

Fórmulas clave

• Canónica (centro en el origen)x²/a² + y²/b² = 1, a ≥ b
• Focosc² = a² − b², F = (±c, 0)
• Excentricidade = c/a ∈ [0, 1)
• Definiciónd(P, F₁) + d(P, F₂) = 2a
• Parametrizaciónx = a cos t, y = b sen t
• ÁreaA = π a b

Dónde se aplica

Las órbitas de satélites se diseñan con elipses: el perigeo y el apogeo distan a − c y a + c del centro de la Tierra. En medicina, la litotricia rompe cálculos renales situando al paciente en un foco de un reflector elíptico y el emisor de ondas en el otro. En estadística, las curvas de nivel de una distribución normal bivariante son elipses cuya orientación revela la correlación entre las variables.

Con programación (Python)

import math

def elipse(a, b):
    c = math.sqrt(a*a - b*b)
    return dict(focos=((-c, 0), (c, 0)), excentricidad=c/a, area=math.pi*a*b)

print(elipse(5, 3))

# Comprobar la definición: suma de distancias a los focos = 2a
a, b = 5, 3
c = math.sqrt(a*a - b*b)
for t in [0, 0.7, 1.4, 2.1, 2.8]:
    x, y = a*math.cos(t), b*math.sin(t)
    suma = math.dist((x, y), (-c, 0)) + math.dist((x, y), (c, 0))
    print(f"t={t:.1f}  P=({x:6.2f},{y:6.2f})  suma={suma:.4f}")

# Órbita terrestre: a = 149.6e6 km, e = 0.0167
a_t, e_t = 149.6e6, 0.0167
print("Perihelio:", a_t*(1-e_t), "km   Afelio:", a_t*(1+e_t), "km")

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