Ley de enfriamiento de Newton

La idea

La ley de enfriamiento de Newton afirma que la velocidad con que cambia la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio que lo rodea: dT/dt = −k (T − Tₐ), con k > 0 una constante que depende del material, de la superficie expuesta y del tipo de intercambio de calor. El signo menos garantiza que un cuerpo caliente se enfríe y uno frío se caliente: en ambos casos T se acerca a Tₐ.

El cambio de variable u = T − Tₐ convierte la ecuación en u′ = −k u, es decir en un decaimiento exponencial puro. Deshaciendo el cambio se obtiene T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ) e^(−k t): la diferencia con el ambiente se reduce siempre en el mismo porcentaje por unidad de tiempo. La constante de tiempo τ = 1/k es el intervalo en el que esa diferencia baja al 36,8 % de su valor, y tras 5τ queda menos del 1 %. Obsérvese que T = Tₐ es el único equilibrio y que es asintóticamente estable: la temperatura ambiente es un atractor.

En la práctica k no se conoce, pero basta con dos medidas separadas Δt para despejarla: k = (1/Δt) ln[(T₁ − Tₐ)/(T₂ − Tₐ)]. Con k en la mano se puede invertir la solución y calcular cuánto tarda el cuerpo en alcanzar cualquier temperatura, o bien extrapolar hacia atrás. Esta última idea es la base de la estimación forense de la hora de la muerte: partiendo de los 37 °C del cuerpo vivo se calcula el tiempo transcurrido hasta la temperatura medida. El modelo supone Tₐ constante y cuerpo homogéneo, dos hipótesis que hay que vigilar.

Fórmulas clave

• EcuacióndT/dt = −k (T − Tₐ)
• SoluciónT(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ) e^(−k t)
• Constante k con dos medidask = (1/Δt) · ln[(T₁ − Tₐ)/(T₂ − Tₐ)]
• Tiempo hasta una temperatura Tt = (1/k) · ln[(T₀ − Tₐ)/(T − Tₐ)]
• Constante de tiempoτ = 1/k; en t = τ queda el 36,8 % de la diferencia
• EquilibrioT = Tₐ, estable (atractor)

Dónde se aplica

En medicina forense la ecuación permite estimar el intervalo post mortem a partir de dos tomas de temperatura rectal y la temperatura del lugar; los modelos modernos la refinan con correcciones por masa y ropa. En la industria alimentaria se usa para calcular tiempos de refrigeración y garantizar que un producto atraviesa rápido la franja de riesgo microbiológico. En electrónica, la misma ecuación describe el enfriamiento de un disipador y fija la constante de tiempo térmica de un procesador. Y en la vida diaria explica por qué conviene echar la leche al café pronto o tarde según se quiera beberlo antes o después.

Con programación (Python)

import math

def temperatura(t, T0, Ta, k):
    return Ta + (T0 - Ta) * math.exp(-k * t)

def tiempo_para(T, T0, Ta, k):
    return math.log((T0 - Ta) / (T - Ta)) / k

# Caso forense: ambiente 20 °C, cuerpo a 30 °C y a 27 °C una hora después
Ta, T1, T2, dt = 20.0, 30.0, 27.0, 1.0
k = math.log((T1 - Ta) / (T2 - Ta)) / dt
print("Constante k:", round(k, 5), "1/h")
print("Horas desde los 37 °C:", round(tiempo_para(T1, 37.0, Ta, k), 3))

# Café a 90 °C en una sala a 22 °C con k = 0.06 1/min
for t in [0, 5, 10, 20, 40]:
    print("t =", t, "min  T =", round(temperatura(t, 90.0, 22.0, 0.06), 2), "°C")
print("Minutos hasta 65 °C:", round(tiempo_para(65.0, 90.0, 22.0, 0.06), 2))
print("Constante de tiempo tau:", round(1 / 0.06, 2), "min")

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