Esperanza y varianza

La idea

Una variable aleatoria discreta toma valores x₁, x₂, … con probabilidades p₁, p₂, … que suman 1. Su esperanza o valor esperado E[X] = Σ xᵢ pᵢ es la media ponderada de los valores por sus probabilidades: el promedio que obtendríamos a largo plazo si repitiéramos el experimento indefinidamente. Para un dado, E[X] = (1 + 2 + … + 6)/6 = 3,5, un valor que el dado nunca muestra pero al que se acerca la media de muchas tiradas.

La esperanza no dice nada de la dispersión: un juego que paga siempre 10 € y otro que paga 0 € o 20 € a cara o cruz tienen la misma esperanza pero riesgos muy distintos. La varianza Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − μ² mide el promedio de las desviaciones al cuadrado, y su raíz, la desviación típica σ, devuelve la medida a las unidades originales. La esperanza es lineal, E[aX + b] = aE[X] + b, mientras que Var(aX + b) = a² Var(X): desplazar no cambia la dispersión, escalar la multiplica por a².

Un juego justo es aquel cuya ganancia neta esperada es cero. Las loterías y los casinos son juegos con esperanza negativa para el jugador: en la ruleta europea, apostar 1 € a un número da E = 36 · (1/37) − 1 ≈ −0,027 €, un 2,7 % de ventaja para la casa. Ese pequeño margen, multiplicado por millones de apuestas, es un ingreso casi seguro gracias a la ley de los grandes números.

Fórmulas clave

• EsperanzaE[X] = Σ xᵢ pᵢ
• VarianzaVar(X) = Σ (xᵢ − μ)² pᵢ = E[X²] − μ²
• Desviación típicaσ = √Var(X)
• LinealidadE[aX + b] = a E[X] + b, Var(aX + b) = a² Var(X)
• Suma de independientesE[X + Y] = E[X] + E[Y], Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)

Dónde se aplica

Las aseguradoras fijan la prima de una póliza como la esperanza del coste de los siniestros más un recargo por la varianza: cuanto más impredecible el riesgo, mayor el margen. En inversión, la teoría de carteras de Markowitz elige activos maximizando el rendimiento esperado para una varianza (riesgo) dada. En diseño de algoritmos, el tiempo esperado de ejecución de quicksort con pivote aleatorio es O(n log n) aunque el peor caso sea cuadrático, y en teoría de la decisión se elige la opción que maximiza la utilidad esperada.

Con programación (Python)

import random

def esperanza(valores, probs):
    return sum(x * p for x, p in zip(valores, probs))

def varianza(valores, probs):
    mu = esperanza(valores, probs)
    return sum((x - mu) ** 2 * p for x, p in zip(valores, probs))

# Dado equilibrado
dado = list(range(1, 7))
print("Dado: E =", esperanza(dado, [1/6]*6), " Var =", round(varianza(dado, [1/6]*6), 4))

# Lotería: boleto de 2 €, premios de 100 € (1 %) y 10 € (5 %)
premios = [100, 10, 0]
probs = [0.01, 0.05, 0.94]
E = esperanza(premios, probs)
print("Premio esperado:", E, "€   ganancia neta esperada:", E - 2, "€")
print("Desviación típica del premio:", round(varianza(premios, probs) ** 0.5, 3))

# Simular 10000 jugadas
random.seed(3)
total = sum(random.choices(premios, probs)[0] - 2 for _ in range(10000))
print("Ganancia media simulada por jugada:", total / 10000, "€")

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