Máximos, mínimos y optimización

La idea

Un máximo local de f es un punto donde la función vale más que en todos sus vecinos cercanos; un mínimo local, donde vale menos. En una función derivable, en esos puntos la tangente es horizontal: f'(c) = 0. Los puntos donde la derivada se anula o no existe se llaman puntos críticos y son los únicos candidatos a extremos en el interior del dominio; en un intervalo cerrado hay que añadir los extremos del intervalo. No todo punto crítico es un extremo: x³ tiene derivada nula en 0 sin máximo ni mínimo.

Para clasificar un punto crítico hay dos criterios. El de la primera derivada mira el signo de f' a ambos lados: si pasa de positiva a negativa hay un máximo (la función sube y luego baja); si pasa de negativa a positiva hay un mínimo. El de la segunda derivada evalúa f''(c): si es negativa la curva es cóncava y hay máximo; si es positiva es convexa y hay mínimo; si es cero no decide. La segunda derivada también localiza los puntos de inflexión, donde cambia la concavidad.

Un problema de optimización consiste en traducir una situación a una función de una variable, delimitar su dominio y buscar sus extremos. Ejemplo clásico: de una lámina rectangular de 30 × 20 cm se recortan cuadrados de lado x en las esquinas y se dobla para formar una caja sin tapa; el volumen es V(x) = x(30 − 2x)(20 − 2x) con 0 < x < 10. Resolviendo V'(x) = 0 se obtiene x ≈ 3,92 cm, y V''(x) < 0 confirma que es un máximo: unos 1056 cm³.

Fórmulas clave

• Condición necesariaf'(c) = 0 (o f'(c) no existe) en todo extremo interior
• Criterio de la primera derivadaf' pasa de + a − ⇒ máximo; de − a + ⇒ mínimo
• Criterio de la segunda derivadaf'(c) = 0 y f''(c) < 0 ⇒ máximo; f''(c) > 0 ⇒ mínimo
• Punto de inflexiónf''(c) = 0 y f'' cambia de signo en c
• Caja de volumen máximoV(x) = x (a − 2x)(b − 2x), V'(x) = 12x² − 4(a + b)x + ab

Dónde se aplica

Una empresa fija el precio que maximiza el beneficio igualando a cero la derivada del beneficio (ingreso marginal = coste marginal). Los fabricantes de latas minimizan el metal necesario para un volumen dado, lo que lleva a la proporción altura = diámetro. En medicina se calcula la dosis que maximiza la respuesta terapéutica antes de que aparezcan efectos tóxicos, y en logística la ruta o el tamaño de lote que minimiza costes. Toda la optimización matemática, desde el descenso de gradiente hasta el simplex, generaliza estas ideas a muchas variables.

Con programación (Python)

import math

# Caja sin tapa: lámina de a x b, se recortan cuadrados de lado x en las esquinas
a, b = 30, 20
V = lambda x: x * (a - 2 * x) * (b - 2 * x)
dV = lambda x: 12 * x * x - 4 * (a + b) * x + a * b      # V'(x)
d2V = lambda x: 24 * x - 4 * (a + b)                     # V''(x)

# Puntos críticos: raíces de la cuadrática V'(x) = 0
disc = 16 * (a + b) ** 2 - 48 * a * b
x1 = (4 * (a + b) - math.sqrt(disc)) / 24
x2 = (4 * (a + b) + math.sqrt(disc)) / 24
for x in (x1, x2):
    tipo = "máximo" if d2V(x) < 0 else "mínimo"
    valido = 0 < x < min(a, b) / 2
    print(f"x={x:.4f}  V={V(x):.2f}  V''={d2V(x):.2f}  -> {tipo}, {'válido' if valido else 'fuera del dominio'}")

# Comprobación: bisección sobre V'(x) en [0, 10]
lo, hi = 0.0, 10.0
for _ in range(50):
    mid = (lo + hi) / 2
    if dV(lo) * dV(mid) <= 0:
        hi = mid
    else:
        lo = mid
print("Bisección: x* =", (lo + hi) / 2, " V máx =", V((lo + hi) / 2), "cm^3")

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