Derivadas parciales y gradiente

La idea

Una función de dos variables z = f(x, y) describe una superficie, y sus curvas de nivel f(x, y) = c son el mapa topográfico de esa superficie. La derivada parcial ∂f/∂x es la derivada ordinaria de f respecto a x tratando y como una constante: mide la pendiente de la superficie al caminar en la dirección del eje X. Análogamente ∂f/∂y mide la pendiente en la dirección Y. Se calculan con las mismas reglas de siempre; por ejemplo, para f = x²y + 3y se tiene ∂f/∂x = 2xy y ∂f/∂y = x² + 3.

El gradiente ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) reúne ambas parciales en un vector con una propiedad notable: apunta en la dirección de máximo crecimiento de la función, y su módulo es la pendiente en esa dirección. La pendiente en cualquier otra dirección unitaria u es la derivada direccional D_u f = ∇f · u = |∇f| cos θ, máxima cuando u es paralela al gradiente, nula cuando es perpendicular y mínima en la dirección opuesta. En consecuencia, el gradiente es siempre perpendicular a la curva de nivel que pasa por el punto.

En un máximo o mínimo interior el gradiente se anula (todas las pendientes son cero): son los puntos críticos de varias variables, que se clasifican con la matriz de segundas derivadas (hessiana) en máximos, mínimos o puntos de silla, como el centro de x² − y². Todo esto se generaliza sin cambios a n variables y es la base del descenso de gradiente: para minimizar una función basta con dar pasos pequeños en la dirección −∇f, que es la de máximo descenso.

Fórmulas clave

• Derivada parcial∂f/∂x = lim_{h→0} [f(x + h, y) − f(x, y)] / h
• Gradiente∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)
• Derivada direccionalD_u f = ∇f · u = |∇f| cos θ, |u| = 1
• Máximo crecimientodirección ∇f/|∇f|, pendiente |∇f|
• Perpendicularidad∇f ⊥ curva de nivel f(x, y) = c
• Punto crítico∇f = (0, 0)

Dónde se aplica

El descenso de gradiente que entrena casi todos los modelos de aprendizaje automático sigue −∇f del error respecto a millones de parámetros. En meteorología, el viento sopla aproximadamente según el gradiente de presión (de altas a bajas) y las isobaras del mapa son curvas de nivel. En física, el campo eléctrico es −∇V, el gradiente cambiado de signo del potencial, y el flujo de calor sigue −∇T. En procesamiento de imágenes, el gradiente de la intensidad detecta bordes: donde su módulo es grande hay un cambio brusco de color.

Con programación (Python)

import math

def f(x, y): return x * x * y + 3 * y
def grad(x, y): return (2 * x * y, x * x + 3)       # derivadas parciales exactas

def grad_numerico(f, x, y, h=1e-6):
    fx = (f(x + h, y) - f(x - h, y)) / (2 * h)
    fy = (f(x, y + h) - f(x, y - h)) / (2 * h)
    return fx, fy

P = (1, 2)
print("f(P) =", f(*P))
print("gradiente exacto  :", grad(*P))
print("gradiente numérico:", tuple(round(v, 6) for v in grad_numerico(f, *P)))
gx, gy = grad(*P)
mod = math.hypot(gx, gy)
print("|grad f| =", mod, " dirección de máximo crecimiento:", (gx / mod, gy / mod))

# Derivada direccional D_u f = grad f · u
for ang in (0, 45, 90, 180, 225):
    u = (math.cos(math.radians(ang)), math.sin(math.radians(ang)))
    print(f"ángulo {ang:>3}°: D_u f = {gx * u[0] + gy * u[1]:.4f}")

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