Los 80 temas del curso

📐 Geometría analítica (8)

La recta en el plano — Pendiente, ordenada en el origen y las tres formas de escribir una recta.
Distancia y punto medio — Pitágoras en coordenadas: medir segmentos y hallar su centro.
La circunferencia — Todos los puntos a la misma distancia de un centro: ecuación, tangentes y posiciones relativas.
La parábola — Foco, directriz y vértice: la curva que refleja rayos y describe proyectiles.
La elipse — Dos focos, una suma constante: las órbitas de los planetas.
La hipérbola — Dos ramas y dos asíntotas: diferencia constante de distancias.
Vectores en el plano — Módulo, dirección, producto escalar y proyecciones.
Coordenadas polares — Describir el plano con distancia y ángulo: espirales, rosas y cardioides.

🧮 Álgebra lineal (8)

Matrices como transformaciones — Una matriz 2×2 es una función que dobla el plano: rota, estira, cizalla o refleja.
Sistemas lineales y eliminación de Gauss — Escalonar la matriz ampliada para resolver y clasificar cualquier sistema de ecuaciones.
El determinante — Área y volumen con signo: el número que decide si una matriz es invertible.
La matriz inversa — Deshacer una transformación: existencia, Gauss-Jordan y resolución de sistemas.
Valores y vectores propios — Las direcciones que una matriz no gira: solo las estira o las encoge.
Mínimos cuadrados — Ajustar un modelo a datos con ruido proyectando sobre el espacio de las columnas.
Ortogonalidad y Gram-Schmidt — Fabricar bases ortonormales restando proyecciones, y de ahí la factorización QR.
Cadenas de Markov — Matrices estocásticas, evolución paso a paso y la distribución que ya no cambia.

📈 Cálculo diferencial (8)

Límites y continuidad — Qué valor persigue una función al acercarse a un punto: laterales, continuidad e indeterminaciones.
La derivada como límite — El cociente incremental y su límite: la pendiente de la tangente y la velocidad instantánea.
Reglas de derivación y regla de la cadena — Producto, cociente y composición: cómo derivar cualquier función construida a partir de otras.
Recta tangente y aproximación lineal — La tangente como mejor recta local: normal, linealización, diferenciales y error.
Máximos, mínimos y optimización — Puntos críticos, criterios de la primera y segunda derivada y problemas de optimización.
Polinomios de Taylor — Aproximar cualquier función suave por polinomios: Maclaurin, resto de Lagrange y convergencia.
Razones de cambio relacionadas — Cuando varias magnitudes cambian a la vez: escaleras que resbalan, globos y depósitos.
Derivadas parciales y gradiente — Funciones de dos variables: pendientes en cada eje, gradiente y dirección de máximo crecimiento.

🌊 Cálculo integral (8)

Sumas de Riemann y la integral definida — Aproximar un área con rectángulos y hacer que su número tienda a infinito.
Teorema fundamental del cálculo — La función área A(x) tiene derivada f(x): integrar y derivar son operaciones inversas.
Área entre dos curvas — Integrar la diferencia de dos funciones entre sus puntos de corte.
Sólidos de revolución: discos y arandelas — Girar una curva alrededor de un eje y sumar los volúmenes de rodajas circulares.
Longitud de arco y superficies de revolución — Medir una curva con Pitágoras infinitesimal y el área de la superficie que genera al girar.
Integrales impropias — Integrar hasta el infinito o a través de una asíntota: ¿el área es finita?
Valor medio de una función — El promedio de infinitos valores y el teorema que garantiza que la función lo alcanza.
Integrales dobles sobre rectángulos — Volumen bajo una superficie z = f(x, y) como límite de sumas dobles de Riemann.

🌀 Ecuaciones diferenciales (8)

Crecimiento y decaimiento exponencial — y′ = ky: la ecuación de todo lo que cambia en proporción a lo que ya hay.
Crecimiento logístico — y′ = ry(1 − y/K): crecimiento con freno, capacidad de carga y punto de inflexión.
Ley de enfriamiento de Newton — Un cuerpo se acerca a la temperatura ambiente a ritmo proporcional a la diferencia.
Oscilador armónico amortiguado — Masa y resorte con rozamiento: tres regímenes según el discriminante.
Campos de direcciones, Euler y RK4 — Dibujar pendientes para ver las soluciones sin resolver, y avanzar paso a paso.
Depredador y presa (Lotka-Volterra) — Dos especies acopladas que oscilan describiendo ciclos cerrados en el plano de fases.
Modelo epidémico SIR — Susceptibles, infectados y recuperados: R₀, pico de la curva e inmunidad de grupo.
Péndulo simple no lineal — θ″ + (g/L) sen θ = 0: cuando la amplitud crece, el periodo deja de ser constante.

🎲 Probabilidad (8)

Probabilidad clásica — Regla de Laplace, espacio muestral y sucesos: contar casos con dos dados.
Distribución binomial — Contar éxitos en n ensayos independientes con probabilidad p: masa, media y varianza.
Distribución de Poisson — Sucesos raros a un ritmo λ: llegadas a una cola y aproximación de la binomial.
Distribución normal — La campana de Gauss: regla 68-95-99,7 y estandarización con puntuaciones z.
Teorema de Bayes — Invertir condicionales: pruebas médicas, falsos positivos y actualización de creencias.
Esperanza y varianza — Valor esperado, varianza y desviación típica de variables discretas; juegos justos.
Teorema central del límite — Las medias de muestras de cualquier distribución tienden a una normal de anchura σ/√n.
Método Monte Carlo — Estimar π, integrales y probabilidades difíciles lanzando puntos al azar.

📊 Estadística (8)

Media, mediana y moda — Tres formas de resumir un conjunto de datos en un solo número, y cuándo falla cada una.
Medidas de dispersión — Rango, varianza, desviación típica y coeficiente de variación: cuánto se alejan los datos del centro.
Cuartiles y diagrama de caja — Percentiles, rango intercuartílico y el dibujo que resume una distribución en cinco números.
Correlación — El coeficiente de Pearson mide la relación lineal entre dos variables; y por qué no implica causalidad.
Regresión lineal simple — La recta de mínimos cuadrados, el coeficiente R², los residuos y cómo usarla para predecir.
Intervalos de confianza — Estimar la media de una población con un rango plausible, y cómo dependen su anchura de n y del nivel.
Contraste de hipótesis y prueba t — Hipótesis nula, estadístico t, valor p y los dos tipos de error al decidir con datos.
Test chi-cuadrado — Comparar frecuencias observadas y esperadas: bondad de ajuste e independencia en tablas de contingencia.

🔢 Métodos numéricos (8)

Método de bisección — Encerrar la raíz en un intervalo y partirlo por la mitad hasta atraparla: lento pero infalible.
Método de Newton-Raphson — Seguir la tangente hasta el eje: convergencia cuadrática cuando funciona y fallos famosos cuando no.
Iteración de punto fijo — Resolver x = g(x) repitiendo g una y otra vez; la telaraña muestra si converge o escapa.
Interpolación polinómica — El polinomio de Lagrange que pasa por todos los puntos, el fenómeno de Runge y cómo evitarlo.
Integración numérica: trapecio y Simpson — Aproximar ∫f con trapecios o parábolas y ver cómo el error cae con h² o con h⁴.
Métodos de Euler y Runge-Kutta — Resolver y' = f(t, y) paso a paso: de la tangente de Euler a las cuatro pendientes de RK4.
Aritmética en punto flotante — Por qué 0,1 + 0,2 ≠ 0,3: bits de un double, épsilon de máquina y cancelación catastrófica.
Métodos iterativos: Jacobi y Gauss-Seidel — Resolver Ax = b mejorando una aproximación paso a paso; la dominancia diagonal garantiza el éxito.

🎯 Optimización (8)

Programación lineal — Maximizar un beneficio lineal con recursos limitados: región factible, vértices y método gráfico.
Programación entera — Cuando las variables deben ser números enteros, redondear no basta: hay que ramificar y acotar.
Descenso del gradiente — Bajar la colina siguiendo la dirección de máxima pendiente: el motor del aprendizaje automático.
Multiplicadores de Lagrange — Optimizar sobre una restricción de igualdad: en el óptimo los gradientes son paralelos.
Convexidad — La propiedad que convierte un problema difícil en resoluble: todo mínimo local es global.
El problema de la mochila — Elegir objetos con peso y valor para llenar una capacidad: programación dinámica frente a voraz.
Recocido simulado — Aceptar empeoramientos con probabilidad e^(−Δ/T) para escapar de los mínimos locales.
Algoritmos genéticos — Evolucionar una población de soluciones con selección, cruce y mutación.

🕸️ Matemáticas discretas y algoritmos (8)

Complejidad y notación O grande — Cómo crece el coste de un algoritmo: 1, log n, n, n log n, n² y 2ⁿ.
Búsqueda binaria — Divide y vencerás: hallar un dato entre un millón en solo 20 comparaciones.
Algoritmos de ordenamiento — Burbuja, inserción, selección, mezcla y rápido: de O(n²) a O(n log n).
Recursión y memoización — Resolver un problema con versiones más pequeñas de sí mismo, sin repetir trabajo.
Combinatoria y triángulo de Pascal — Contar sin enumerar: permutaciones, variaciones, combinaciones y coeficientes binomiales.
Aritmética modular y criptografía — El reloj como sistema numérico: congruencias, inversos y el RSA de juguete.
Grafos y caminos mínimos: Dijkstra — La ruta más corta en una red de pesos no negativos, nodo a nodo.
Autómatas celulares — Reglas locales simplísimas que generan orden, caos y estructuras que se mueven.