Integrales dobles sobre rectángulos

La idea

Del mismo modo que la integral simple mide el área bajo una curva, la integral doble ∬_R f(x, y) dA mide el volumen bajo la superficie z = f(x, y) sobre una región R del plano. Si R es el rectángulo [a, b] × [c, d], se divide en una malla de n × m celdas de área ΔA = Δx·Δy, se levanta sobre cada celda un prisma de altura f(xᵢ*, yⱼ*) y se suman los volúmenes: es la suma doble de Riemann. Al afinar la malla la suma converge a la integral.

El teorema de Fubini convierte el cálculo en dos integrales simples encadenadas: ∬_R f dA = ∫ₐᵇ [∫꜀ᵈ f(x, y) dy] dx = ∫꜀ᵈ [∫ₐᵇ f(x, y) dx] dy. Primero se integra en una variable tratando la otra como constante (el área de una rebanada) y después se apilan las rebanadas. El orden es indiferente para funciones continuas, pero uno de los dos suele ser más sencillo.

Si f = 1 la integral doble devuelve el área de R; si f es una densidad superficial, la masa; y con f = x·ρ o y·ρ, los momentos que definen el centro de masas. Sobre regiones no rectangulares los límites interiores pasan a depender de la variable exterior, y en regiones circulares conviene el cambio a coordenadas polares, con dA = r dr dθ.

Fórmulas clave

• Suma doble de RiemannV ≈ Σᵢ Σⱼ f(xᵢ*, yⱼ*) Δx Δy
• Integral doble∬_R f(x, y) dA = lim_{n,m→∞} Σᵢ Σⱼ f(xᵢ*, yⱼ*) ΔA
• Teorema de Fubini∬_R f dA = ∫ₐᵇ ∫꜀ᵈ f(x, y) dy dx = ∫꜀ᵈ ∫ₐᵇ f(x, y) dx dy
• Producto separable∬ g(x) h(y) dA = (∫ₐᵇ g dx)·(∫꜀ᵈ h dy)
• Coordenadas polaresdA = r dr dθ
• Ejemplo∬_[0,1]×[0,2] (x² + y²) dA = 2/3 + 8/3 = 10/3

Dónde se aplica

En topografía e ingeniería civil el volumen de tierra a excavar o rellenar se obtiene integrando la diferencia de cotas entre el terreno y el proyecto sobre la planta de la obra, exactamente una suma doble de Riemann sobre la malla del levantamiento. En procesamiento de imágenes, la intensidad total de una región de una fotografía y su centroide son integrales dobles discretas sobre los píxeles. Y en probabilidad, la probabilidad de que un par de variables continuas caiga en un rectángulo es la integral doble de su densidad conjunta sobre ese rectángulo.

Con programación (Python)

# Integral doble de f(x, y) = x^2 + y^2 sobre [0, 1] x [0, 2]; exacta 10/3
def riemann_doble(f, a, b, c, d, n, m):
    dx, dy = (b - a) / n, (d - c) / m
    total = 0.0
    for i in range(n):
        x = a + (i + 0.5) * dx          # punto medio de la celda
        for j in range(m):
            y = c + (j + 0.5) * dy
            total += f(x, y) * dx * dy
    return total

f = lambda x, y: x * x + y * y
exacto = 10 / 3
for n in [2, 4, 8, 16, 64]:
    v = riemann_doble(f, 0, 1, 0, 2, n, n)
    print(f"malla {n:2d}x{n:<2d}: {v:.6f}   error {abs(v - exacto):.2e}")
print("Exacto (Fubini): 1^3*2/3 + 1*2^3/3 =", exacto)

# Producto separable: integral doble de x*y sobre [0, 2] x [0, 3] = (2^2/2)(3^2/2) = 9
print("x·y sobre [0,2]x[0,3]:", round(riemann_doble(lambda x, y: x * y, 0, 2, 0, 3, 50, 50), 6))

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