Integrales impropias

La idea

Una integral es impropia cuando el intervalo es infinito o cuando el integrando se dispara hacia ±∞ en algún punto. En ambos casos se define como un límite: ∫ₐ^∞ f(x) dx = lim_{b→∞} ∫ₐᵇ f(x) dx, y para una discontinuidad en a, ∫ₐᵇ f(x) dx = lim_{ε→0⁺} ∫ₐ₊εᵇ f(x) dx. Si el límite existe y es finito la integral converge; si no, diverge. Una región puede extenderse hasta el infinito y aun así tener área finita.

El ejemplo de referencia es la familia 1/xᵖ. En [1, ∞) la integral converge exactamente cuando p > 1, con valor 1/(p − 1); para p ≤ 1 la cola decrece demasiado despacio y el área se acumula sin límite (con p = 1 la primitiva es ln b, que crece sin cota). En (0, 1] ocurre lo contrario: la integral converge cuando p < 1, con valor 1/(1 − p), y diverge cuando p ≥ 1. El caso p = 1 diverge en ambos extremos.

Cuando no se conoce la primitiva se usan los criterios de comparación: si 0 ≤ f ≤ g y ∫g converge, también ∫f; si f ≥ g ≥ 0 y ∫g diverge, ∫f diverge. Así se prueba, por ejemplo, que ∫₀^∞ e^(−x²) dx converge (vale √π/2) comparándola con e^(−x), aunque su primitiva no sea elemental.

Fórmulas clave

• Límite infinito∫ₐ^∞ f(x) dx = lim_{b→∞} ∫ₐᵇ f(x) dx
• Discontinuidad en a∫ₐᵇ f(x) dx = lim_{ε→0⁺} ∫ₐ₊εᵇ f(x) dx
• Cola de 1/xᵖ∫₁^∞ x⁻ᵖ dx = 1/(p − 1) si p > 1; diverge si p ≤ 1
• Singularidad de 1/xᵖ∫₀¹ x⁻ᵖ dx = 1/(1 − p) si p < 1; diverge si p ≥ 1
• Gaussiana∫₋∞^∞ e^(−x²) dx = √π
• Comparación0 ≤ f ≤ g y ∫g converge ⇒ ∫f converge

Dónde se aplica

Toda la probabilidad continua descansa en integrales impropias: la densidad normal se integra de −∞ a ∞ y debe dar 1, y la esperanza ∫ x f(x) dx solo existe si converge (la distribución de Cauchy no tiene media por eso). La transformada de Laplace, ∫₀^∞ f(t) e^(−st) dt, convierte ecuaciones diferenciales en algebraicas y es la herramienta básica del control automático. En física, el trabajo necesario para llevar un cuerpo desde la superficie terrestre hasta el infinito es ∫_R^∞ GMm/r² dr = GMm/R, finito, y de ahí sale la velocidad de escape.

Con programación (Python)

import math

def integral_cola(p, b):
    """Integral de x^-p entre 1 y b (primitiva exacta)"""
    return math.log(b) if p == 1 else (b ** (1 - p) - 1) / (1 - p)

for p in [0.5, 1, 2, 3]:
    valores = [integral_cola(p, b) for b in (10, 1000, 1e6)]
    limite = f"converge a {1/(p-1):.4f}" if p > 1 else "diverge"
    print(f"p={p}: b=10 → {valores[0]:.4f}, b=1e3 → {valores[1]:.4f}, b=1e6 → {valores[2]:.4f}  ({limite})")

# Discontinuidad en 0: integral de 1/sqrt(x) en [eps, 1] tiende a 2
for eps in [0.1, 0.01, 1e-4, 1e-8]:
    print(f"eps={eps:g}: {2 - 2 * math.sqrt(eps):.6f}")

# Gaussiana por punto medio en [-8, 8] (fuera el integrando es despreciable)
n = 20000
dx = 16 / n
gauss = sum(math.exp(-(-8 + (i + 0.5) * dx) ** 2) for i in range(n)) * dx
print("∫ e^(-x²) dx ≈", round(gauss, 6), " √π =", round(math.sqrt(math.pi), 6))

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