Intervalos de confianza

La idea

La media de una muestra x̄ es una estimación puntual de la media poblacional μ, pero otra muestra habría dado otro valor. El teorema central del límite dice que x̄ se distribuye aproximadamente como una normal centrada en μ con desviación típica σ/√n, el error estándar. Por tanto, en el 95 % de las muestras x̄ queda a menos de 1,96 errores estándar de μ; dando la vuelta a esa afirmación, el intervalo x̄ ± 1,96·σ/√n contiene a μ en el 95 % de las muestras. Ese es un intervalo de confianza al 95 %.

Su interpretación es sutil: μ es un número fijo, no aleatorio; lo aleatorio es el intervalo. «Confianza del 95 %» significa que, si repitiéramos el muestreo muchas veces, el 95 % de los intervalos construidos atraparían a μ y el 5 % fallarían, sin que podamos saber si el nuestro es de los buenos. Cuando σ es desconocida se sustituye por la desviación muestral s y el valor crítico se toma de la distribución t de Student con n − 1 grados de libertad, algo más ancha que la normal para compensar la incertidumbre añadida.

La anchura del intervalo depende de tres factores: crece con la dispersión σ, crece con el nivel de confianza (un 99 % exige z = 2,576 en lugar de 1,96) y decrece con la raíz del tamaño muestral. Esa raíz tiene una consecuencia práctica dura: para reducir el error a la mitad hay que cuadruplicar n. Despejando n de la fórmula del semiancho se obtiene el tamaño muestral necesario para una precisión dada, cálculo imprescindible al diseñar encuestas y ensayos.

Fórmulas clave

• Error estándar de la mediaEE = σ / √n (o s / √n)
• IC con σ conocidax̄ ± z_{α/2} · σ / √n
• IC con σ desconocidax̄ ± t_{n−1, α/2} · s / √n
• Valores críticos habituales90 %: z = 1,645; 95 %: z = 1,960; 99 %: z = 2,576
• Tamaño muestral para error En = (z_{α/2} · σ / E)²

Dónde se aplica

Las encuestas electorales publican un «margen de error de ±3 puntos» que es exactamente el semiancho de un intervalo de confianza al 95 %, y el tamaño de la muestra (unas 1000 personas) se calcula con la fórmula de n. En ensayos clínicos, el efecto de un fármaco se comunica como intervalo: si no incluye el cero, el efecto es estadísticamente distinguible de nada. En ingeniería de software, las pruebas A/B miden la diferencia de conversión entre dos versiones con un intervalo, y solo se despliega el cambio cuando el intervalo entero es favorable.

Con programación (Python)

import random, math
random.seed(7)

MU, SIGMA, N, Z = 50, 10, 25, 1.96   # z para el 95 %
cubren = 0
for i in range(50):
    muestra = [random.gauss(MU, SIGMA) for _ in range(N)]
    media = sum(muestra) / N
    semi = Z * SIGMA / math.sqrt(N)
    dentro = media - semi <= MU <= media + semi
    cubren += dentro
    if i < 5:
        estado = "contiene" if dentro else "NO contiene"
        print(f"Muestra {i + 1}: [{media - semi:6.2f}, {media + semi:6.2f}] {estado} a mu")
print(f"\n{cubren} de 50 intervalos contienen mu = {MU} ({2 * cubren} %)")

# Tamaño muestral para un error máximo E = 1 con 95 %
E = 1
print("n necesario para E = 1:", math.ceil((Z * SIGMA / E) ** 2))

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