Límites y continuidad

La idea

El límite de una función f(x) cuando x tiende a un valor a es el número L al que se acercan las imágenes f(x) a medida que x se aproxima a a, sin importar lo que ocurra exactamente en a. La función puede no estar definida allí, como sen(x)/x en x = 0, o tomar un valor distinto, y aun así el límite existe. La definición formal (ε-δ) lo expresa con precisión: para cualquier tolerancia ε > 0 existe una distancia δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ entonces |f(x) − L| < ε. Es la idea de «tan cerca como se quiera» convertida en matemática.

Como x puede acercarse a a desde valores menores o mayores, se definen los límites laterales por la izquierda (x → a⁻) y por la derecha (x → a⁺). El límite existe si y solo si ambos coinciden; una función escalón tiene límites laterales distintos en el salto y por tanto no tiene límite allí. Una función es continua en a cuando se cumplen tres condiciones: f(a) está definida, el límite existe y ambos valores coinciden. Si falla alguna hay una discontinuidad: evitable (basta redefinir un punto), de salto o infinita (asíntota vertical).

Al sustituir directamente aparecen a veces indeterminaciones como 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0·∞ o 1^∞. No significan que el límite no exista, sino que hay que trabajar más: factorizar y simplificar, multiplicar por el conjugado, comparar grados en cocientes de polinomios, aplicar límites notables como sen(x)/x → 1 o (1 + 1/n)ⁿ → e, o usar la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador. Los límites en el infinito describen el comportamiento a largo plazo y dan las asíntotas horizontales de la gráfica.

Fórmulas clave

• Definición ε-δlim_{x→a} f(x) = L ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0: 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε
• Límites lateraleslim_{x→a} f(x) existe ⇔ lim_{x→a⁻} f(x) = lim_{x→a⁺} f(x)
• Continuidad en alim_{x→a} f(x) = f(a)
• Límite notable trigonométricolim_{x→0} sen(x)/x = 1
• Número elim_{n→∞} (1 + 1/n)ⁿ = e ≈ 2,71828
• Regla de L'Hôpital (0/0 o ∞/∞)lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)

Dónde se aplica

La velocidad instantánea de un coche es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero: toda la cinemática descansa en esta idea. En finanzas, el interés compuesto continuo nace del límite (1 + r/n)ⁿ → eʳ cuando el banco capitaliza cada vez con más frecuencia. En informática, la notación O grande compara algoritmos mediante el límite del cociente de sus tiempos cuando el tamaño del problema tiende a infinito, y en electrónica los escalones de una señal digital son discontinuidades de salto que los filtros deben tratar con cuidado.

Con programación (Python)

import math

def tabla_limite(f, a, pasos=(0.1, 0.01, 0.001, 0.0001)):
    for h in pasos:
        izq, der = f(a - h), f(a + h)
        print(f"h={h:<7} f(a-h)={izq:.6f}  f(a+h)={der:.6f}")

print("lim sen(x)/x cuando x -> 0")
tabla_limite(lambda x: math.sin(x) / x, 0)

print("\nlim (x^2 - 1)/(x - 1) cuando x -> 1  (indeterminación 0/0)")
tabla_limite(lambda x: (x * x - 1) / (x - 1), 1)

print("\nFunción signo en 0: límites laterales distintos")
tabla_limite(lambda x: -1 if x < 0 else 1, 0)

print("\n(1 + 1/n)^n -> e =", math.e)
for n in (10, 1000, 100000):
    print(n, (1 + 1 / n) ** n)

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