Crecimiento logístico

La idea

El crecimiento exponencial no puede durar siempre: el alimento, el espacio o el mercado se agotan. Verhulst propuso corregir y′ = r y multiplicando por un factor que se anula cuando la población alcanza un techo. Así nace la ecuación logística y′ = r y (1 − y/K), donde r es la tasa intrínseca de crecimiento y K la capacidad de carga. Mientras y es mucho menor que K el paréntesis vale casi 1 y el crecimiento es prácticamente exponencial; al acercarse a K el paréntesis tiende a cero y la población se estanca.

La ecuación es separable y su solución cerrada es la célebre curva sigmoide y(t) = K / (1 + A e^(−r t)) con A = (K − y₀)/y₀. Tiene dos equilibrios: y = 0, inestable (cualquier población pequeña se aleja de él), y y = K, estable (toda solución con y₀ > 0 converge a K, se acerque desde abajo o desde arriba). El punto de inflexión está exactamente en y = K/2, donde la velocidad de crecimiento alcanza su máximo r K / 4; a partir de ahí la curva sigue subiendo pero cada vez más despacio.

Ese punto de inflexión es la magnitud más útil en la práctica: marca el instante en que un brote epidémico, la adopción de una tecnología o la ocupación de un hábitat dejan de acelerarse. Detectarlo a tiempo en datos reales es difícil porque exige estimar simultáneamente r, K y y₀, y pequeños errores en K desplazan mucho la predicción. La versión discreta de esta ecuación, el mapa logístico, es además el ejemplo canónico de cómo un modelo determinista sencillo puede volverse caótico.

Fórmulas clave

• Ecuación logísticady/dt = r y (1 − y/K)
• Solucióny(t) = K / (1 + A e^(−r t)), A = (K − y₀)/y₀
• Equilibriosy = 0 (inestable), y = K (estable)
• Punto de inflexióny = K/2 en t* = (ln A)/r
• Crecimiento máximoy′ máximo = r K / 4
• Régimen inicialy ≪ K ⇒ y′ ≈ r y (exponencial)

Dónde se aplica

En ecología y pesquerías, K es la biomasa que un ecosistema sostiene y rK/4 el rendimiento máximo sostenible: capturar más agota el recurso. En marketing y tecnología, la difusión de un producto sigue una sigmoide y el punto de inflexión indica cuándo el crecimiento de usuarios deja de acelerar, dato clave para planificar inversión. En epidemiología, el número acumulado de casos de un brote se ajusta a menudo con una logística para estimar el tamaño final. Y en aprendizaje automático la misma función, la sigmoide, transforma cualquier número real en una probabilidad dentro de la regresión logística y las redes neuronales.

Con programación (Python)

import math

r, K, y0 = 0.6, 1000.0, 10.0
A = (K - y0) / y0

def exacta(t):
    return K / (1 + A * math.exp(-r * t))

def f(t, y):
    return r * y * (1 - y / K)

def rk4(f, t, y, h, n):
    for _ in range(n):
        k1 = f(t, y)
        k2 = f(t + h / 2, y + h * k1 / 2)
        k3 = f(t + h / 2, y + h * k2 / 2)
        k4 = f(t + h, y + h * k3)
        y += h * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4) / 6
        t += h
    return y

print("Capacidad de carga K =", K)
print("Inflexión en t* =", round(math.log(A) / r, 4), "con y = K/2 =", K / 2)
print("Crecimiento máximo r·K/4 =", r * K / 4)
for t in [0, 5, 10, 15, 20]:
    print("t =", t, " exacta =", round(exacta(t), 4),
          " RK4 =", round(rk4(f, 0.0, y0, 0.1, int(t * 10)), 4))

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