Longitud de arco y superficies de revolución

La idea

Para medir una curva y = f(x) se la aproxima por una poligonal: se marcan puntos sobre ella y se suman las longitudes de los segmentos que los unen. Cada segmento mide √(Δx² + Δy²) = √(1 + (Δy/Δx)²) Δx, y al afinar la partición el cociente Δy/Δx tiende a f'(x). Resulta la fórmula de la longitud de arco: L = ∫ₐᵇ √(1 + f'(x)²) dx. La raíz cuadrada suele impedir hallar una primitiva elemental, así que en la práctica se recurre a integración numérica.

Si la curva viene dada en paramétricas, x = x(t), y = y(t), la longitud es ∫ √(x'(t)² + y'(t)²) dt: la integral de la rapidez. Así se obtiene el perímetro 2πR de la circunferencia con x = R cos t, y = R sen t, y la longitud de una elipse, que no tiene expresión cerrada y dio origen a las integrales elípticas.

Cuando el arco gira alrededor del eje X barre una superficie de revolución. Cada trocito de arco ds genera una banda de radio f(x) y área 2π f(x) ds, de donde S = 2π ∫ₐᵇ f(x) √(1 + f'(x)²) dx. Con f(x) = √(R² − x²) esta fórmula devuelve el área de la esfera, 4πR², y con una recta, el área lateral del cono.

Fórmulas clave

• Longitud de arcoL = ∫ₐᵇ √(1 + f'(x)²) dx
• Curva paramétricaL = ∫ √(x'(t)² + y'(t)²) dt
• Aproximación poligonalL ≈ Σ √(Δxᵢ² + Δyᵢ²)
• Superficie de revoluciónS = 2π ∫ₐᵇ f(x) √(1 + f'(x)²) dx
• Catenariaf(x) = cosh x ⇒ L = senh b − senh a

Dónde se aplica

Las líneas eléctricas cuelgan formando catenarias; la longitud de cable necesaria entre dos torres se obtiene con la integral de longitud de arco, y con ella el peso y el coste. En gráficos por computadora, mover un objeto a velocidad constante sobre una curva de Bézier exige reparametrizarla por longitud de arco, que se calcula con una poligonal fina. En fabricación, el área de chapa de un depósito o de un reflector de revolución es la integral de superficie, que fija la cantidad de material y de pintura.

Con programación (Python)

import math

# Longitud de y = x^(3/2) en [0, 4]; exacta (8/27)(10^1.5 - 1)
f = lambda x: x ** 1.5
df = lambda x: 1.5 * math.sqrt(x)

def poligonal(f, a, b, n):
    xs = [a + (b - a) * i / n for i in range(n + 1)]
    return sum(math.hypot(xs[i + 1] - xs[i], f(xs[i + 1]) - f(xs[i])) for i in range(n))

def simpson(h, a, b, n=2000):
    dx = (b - a) / n
    s = h(a) + h(b) + sum((4 if i % 2 else 2) * h(a + i * dx) for i in range(1, n))
    return s * dx / 3

exacta = 8 / 27 * (10 ** 1.5 - 1)
for n in [2, 8, 32, 128]:
    print(f"poligonal n={n:3d}: {poligonal(f, 0, 4, n):.6f}")
print("integral √(1+f'²):", round(simpson(lambda x: math.sqrt(1 + df(x) ** 2), 0, 4), 6))
print("exacta:", round(exacta, 6))

# Área de la esfera de radio 2 como superficie de revolución de sqrt(4 - x^2)
g = lambda x: math.sqrt(max(4 - x * x, 0))
dg = lambda x: -x / g(x) if abs(x) < 2 else 0
S = simpson(lambda x: 2 * math.pi * g(x) * math.sqrt(1 + dg(x) ** 2), -1.999999, 1.999999)
print("Área esfera:", round(S, 4), " 4πR² =", round(16 * math.pi, 4))

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