Método Monte Carlo

La idea

El método Monte Carlo resuelve problemas deterministas usando el azar: en lugar de calcular una cantidad exactamente, se simulan muchos experimentos aleatorios y se toma el promedio. El ejemplo emblemático es estimar π: se lanzan puntos al azar en un cuadrado de lado 2 y se cuenta la fracción que cae dentro del círculo inscrito de radio 1. Como el área del círculo es π y la del cuadrado 4, esa fracción tiende a π/4, y multiplicándola por 4 se obtiene π.

La misma idea calcula integrales: ∫ₐᵇ f(x) dx = (b − a) · E[f(U)] con U uniforme en [a, b], así que basta promediar f en puntos aleatorios y multiplicar por la longitud del intervalo. En una dimensión los métodos numéricos clásicos (trapecio, Simpson) son mucho mejores, pero Monte Carlo tiene una ventaja decisiva: su error decrece como 1/√n independientemente de la dimensión, mientras que las cuadraturas se vuelven inviables al integrar sobre decenas o miles de variables.

Esa lentitud (para ganar un decimal hay que multiplicar por 100 el número de muestras) es el precio a pagar. El error típico de la estimación es σ/√n por el teorema central del límite, de modo que las técnicas de reducción de varianza (muestreo por importancia, variables antitéticas, estratificación) buscan reducir σ. Con buenos generadores de números pseudoaleatorios y ordenadores rápidos, Monte Carlo es hoy la herramienta estándar para probabilidades sin fórmula cerrada.

Fórmulas clave

• Estimación de ππ ≈ 4 · (puntos dentro del círculo) / n
• Integral por la media∫ₐᵇ f(x) dx ≈ (b − a) · (1/n) Σ f(xᵢ), xᵢ ~ U(a, b)
• Probabilidad de un sucesoP(A) ≈ (simulaciones en las que ocurre A) / n
• Error típicoerror ≈ σ / √n
• Error al estimar πσ = 4 √[(π/4)(1 − π/4)] ≈ 1,64

Dónde se aplica

Los bancos valoran opciones financieras exóticas simulando miles de trayectorias del precio del activo y promediando el pago descontado. En física nuclear, donde nació el método durante el proyecto Manhattan, se sigue la trayectoria de millones de neutrones para diseñar reactores y blindajes. En medicina, la planificación de radioterapia simula el recorrido de los fotones en el tejido; y en inteligencia artificial, la búsqueda en árbol Monte Carlo que usó AlphaGo evalúa jugadas simulando partidas aleatorias hasta el final.

Con programación (Python)

import math
import random

random.seed(42)

def estimar_pi(n):
    dentro = sum(1 for _ in range(n) if random.random()**2 + random.random()**2 <= 1)
    return 4 * dentro / n

for n in (100, 1000, 10000, 100000):
    est = estimar_pi(n)
    print(f"n = {n:6d}: pi ≈ {est:.4f}   error = {abs(est - math.pi):.4f}   1.64/sqrt(n) = {1.64/math.sqrt(n):.4f}")

# Integral de e^(-x^2) entre 0 y 1 (exacta: 0.746824...)
n = 100000
integral = sum(math.exp(-random.random()**2) for _ in range(n)) / n
print("Integral Monte Carlo:", round(integral, 4), " exacta:", round(math.sqrt(math.pi) / 2 * math.erf(1), 4))

# Probabilidad difícil: que la suma de 3 dados sea >= 15 (exacta 20/216)
favorables = sum(1 for _ in range(n) if sum(random.randint(1, 6) for _ in range(3)) >= 15)
print("P(suma de 3 dados >= 15) ≈", favorables / n, " exacta:", round(20 / 216, 4))

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