Distribución normal

La idea

La distribución normal o gaussiana es la campana simétrica que aparece cuando una magnitud es el resultado de sumar muchas pequeñas influencias independientes: estaturas, errores de medida, notas de un examen masivo o el ruido de un sensor. Queda determinada por dos parámetros: la media μ, que sitúa el centro, y la desviación típica σ, que mide la anchura. Su densidad f(x) = [1/(σ√(2π))] e^(−(x − μ)²/(2σ²)) nunca se anula, pero decae tan rápido que casi toda el área queda cerca de μ.

La regla 68-95-99,7 resume esa concentración: aproximadamente el 68 % de los valores está a menos de una desviación típica de la media, el 95 % a menos de dos y el 99,7 % a menos de tres. Como la integral de la campana no tiene expresión elemental, las probabilidades se obtienen de la función de distribución Φ de la normal estándar N(0, 1), tabulada o calculada numéricamente.

Cualquier normal se reduce a la estándar mediante la estandarización z = (x − μ)/σ, que expresa un valor en «número de desviaciones típicas desde la media». Así, P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(z_a) con una sola tabla para todas las normales. Los valores z permiten además comparar magnitudes de escalas distintas: una puntuación z = 2 es igual de excepcional en una prueba de matemáticas que en una de salto de longitud.

Fórmulas clave

• Densidadf(x) = [1 / (σ √(2π))] · e^(−(x − μ)² / (2σ²))
• Estandarizaciónz = (x − μ) / σ
• Probabilidad de un intervaloP(a < X < b) = Φ((b − μ)/σ) − Φ((a − μ)/σ)
• SimetríaΦ(−z) = 1 − Φ(z)
• Regla empíricaP(|X − μ| < σ) ≈ 0,683, < 2σ ≈ 0,954, < 3σ ≈ 0,997

Dónde se aplica

El control estadístico de procesos marca límites en μ ± 3σ: una pieza fuera de ellos es tan improbable (0,3 %) que indica una avería de la máquina. En finanzas, la volatilidad de un activo se modela con rendimientos normales y el valor en riesgo (VaR) al 99 % es el cuantil z = −2,33. En medicina, los rangos de referencia de un análisis de sangre son el intervalo central del 95 % de una población sana, y en aprendizaje automático estandarizar las variables (restar la media, dividir por σ) es el primer paso antes de entrenar casi cualquier modelo.

Con programación (Python)

import math

def Phi(z):
    """Función de distribución de la normal estándar."""
    return 0.5 * (1 + math.erf(z / math.sqrt(2)))

def prob_intervalo(a, b, mu, sigma):
    return Phi((b - mu) / sigma) - Phi((a - mu) / sigma)

mu, sigma = 170, 8  # estatura en cm
print("P(X < 180)       =", round(Phi((180 - mu) / sigma), 4))
print("P(160 < X < 180) =", round(prob_intervalo(160, 180, mu, sigma), 4))
print("P(X > 190)       =", round(1 - Phi((190 - mu) / sigma), 4))

# Regla 68-95-99,7
for k in (1, 2, 3):
    print(f"P(|X - mu| < {k} sigma) = {prob_intervalo(mu - k*sigma, mu + k*sigma, mu, sigma):.4f}")

# Tabla z
for z in (0, 0.5, 1, 1.5, 1.96, 2, 2.58, 3):
    print(f"Phi({z}) = {Phi(z):.4f}")

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