La parábola

La idea

La parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo, el foco, y de una recta fija, la directriz. El punto de la curva más próximo a la directriz es el vértice, y la distancia del vértice al foco, p, controla lo «abierta» o «cerrada» que resulta la curva.

Con el vértice en (h, k) y el eje vertical, la ecuación canónica es (x − h)² = 4p (y − k). Desarrollándola se obtiene la forma polinómica familiar y = ax² + bx + c con a = 1/(4p): el signo de a decide si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo, y el vértice está en x = −b/(2a).

Su propiedad más útil es la reflexión: cualquier rayo paralelo al eje que rebote en la parábola pasa por el foco, y viceversa. Por eso las antenas parabólicas concentran la señal en el receptor y los faros de los coches producen un haz paralelo desde una bombilla situada en el foco.

Fórmulas clave

• Canónica (eje vertical)(x − h)² = 4p (y − k)
• Polinómicay = a x² + b x + c, a = 1/(4p)
• Vérticex_v = −b/(2a), y_v = c − b²/(4a)
• Foco y directrizF = (h, k + p), y = k − p
• Raícesx = [−b ± √(b² − 4ac)] / (2a)

Dónde se aplica

Un proyectil lanzado con velocidad inicial v y ángulo θ describe una parábola: su alcance y altura máxima se leen directamente del vértice y las raíces. En ingeniería, los cables de los puentes colgantes adoptan forma parabólica bajo carga uniforme. En economía, el beneficio en función del precio suele ser una parábola invertida cuyo vértice indica el precio óptimo; y en estadística, ajustar una parábola a datos es una regresión polinómica de grado dos.

Con programación (Python)

import math

def analizar_parabola(a, b, c):
    xv = -b / (2 * a)
    yv = c - b * b / (4 * a)
    p = 1 / (4 * a)
    foco = (xv, yv + p)
    directriz = yv - p
    disc = b * b - 4 * a * c
    raices = None
    if disc >= 0:
        raices = ((-b - math.sqrt(disc)) / (2 * a), (-b + math.sqrt(disc)) / (2 * a))
    return dict(vertice=(xv, yv), foco=foco, directriz=directriz, raices=raices)

for clave, valor in analizar_parabola(1, -4, 3).items():
    print(f"{clave:10}: {valor}")

# Tiro parabólico: alcance con v = 20 m/s, angulo = 45 grados
v, ang, g = 20, math.radians(45), 9.81
print("Alcance:", v**2 * math.sin(2*ang) / g, "m")
print("Altura máxima:", (v*math.sin(ang))**2 / (2*g), "m")

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