Distribución de Poisson

La idea

La distribución de Poisson describe el número de veces que ocurre un suceso raro en un intervalo fijo de tiempo o espacio, cuando los sucesos son independientes y ocurren a un ritmo medio constante λ: llamadas que llegan a una centralita en una hora, erratas por página, partículas emitidas por una fuente radiactiva en un minuto o clientes que entran en una tienda. Su función de masa es P(X = k) = λᵏ e^(−λ) / k!, definida para k = 0, 1, 2, …, sin límite superior.

Su propiedad más llamativa es que la media y la varianza coinciden: ambas valen λ. Además, la Poisson es el límite de la binomial cuando el número de ensayos n crece y la probabilidad p decrece manteniendo np = λ fijo. Por eso sirve para aproximar B(n, p) con n grande y p pequeño (por ejemplo, 1000 productos con un 0,3 % de defectuosos), evitando números combinatorios gigantescos.

En un proceso de Poisson los tiempos entre llegadas consecutivas siguen una distribución exponencial de media 1/λ, y el número de llegadas en intervalos disjuntos es independiente. Esta estructura «sin memoria» es la base de la teoría de colas: con ella se dimensionan centros de atención telefónica, se calcula la longitud esperada de una cola en un supermercado o se estima cuántos servidores necesita un sitio web para atender un tráfico dado.

Fórmulas clave

• Función de masaP(X = k) = λᵏ · e^(−λ) / k!, k = 0, 1, 2, …
• Media y varianzaE[X] = Var(X) = λ
• Aproximación de la binomialB(n, p) ≈ Poisson(n p) si n es grande y p pequeño
• Tiempo entre llegadasT ~ Exp(λ), P(T > t) = e^(−λ t)
• Ritmo escaladollegadas en un tiempo t ~ Poisson(λ t)

Dónde se aplica

Un centro de llamadas que recibe una media de 12 llamadas por hora usa la Poisson para calcular la probabilidad de que en una hora lleguen más de 20 y planificar cuántos operadores contratar. En seguros, el número de siniestros anuales de una cartera se modela como Poisson para fijar primas y reservas. En biología, el número de mutaciones por genoma o de bacterias por placa de cultivo sigue esta ley, y los astrónomos la emplean para contar fotones que llegan a un detector, donde el «ruido de disparo» es ruido de Poisson.

Con programación (Python)

import math
import random

def poisson_pmf(lam, k):
    return lam**k * math.exp(-lam) / math.factorial(k)

lam = 3  # llamadas por minuto
print("Poisson(3): media = varianza =", lam)
for k in range(9):
    print(f"P(X = {k}) = {poisson_pmf(lam, k):.4f}")
print("P(X >= 5) =", round(1 - sum(poisson_pmf(lam, k) for k in range(5)), 4))

# Aproximación de la binomial B(1000, 0.003) por Poisson(3)
n, p = 1000, 0.003
binom = math.comb(n, 2) * p**2 * (1 - p)**(n - 2)
print("B(1000, 0.003): P(X = 2) =", round(binom, 4), " Poisson:", round(poisson_pmf(3, 2), 4))

# Simular llegadas en un minuto con tiempos exponenciales
random.seed(7)
t, llegadas = 0.0, 0
while t <= 1:
    t += random.expovariate(lam)
    if t <= 1:
        llegadas += 1
print("Llegadas simuladas en un minuto:", llegadas)

La versión en JavaScript, editable y ejecutable en el navegador, está en la página interactiva del tema.

Temas relacionados

Distribución binomial · Esperanza y varianza · Crecimiento y decaimiento exponencial · Integrales impropias