Probabilidad clásica

La idea

La probabilidad mide cuán verosímil es un suceso con un número entre 0 (imposible) y 1 (seguro). El punto de partida es el espacio muestral Ω, el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio: al lanzar una moneda es {cara, cruz}; al lanzar dos dados son los 36 pares ordenados (1,1), (1,2), …, (6,6). Un suceso es cualquier subconjunto de Ω: «la suma es 7» reúne los seis pares (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) y (6,1).

Cuando todos los resultados son igualmente verosímiles se aplica la regla de Laplace: P(A) = casos favorables / casos posibles. Así, P(suma = 7) = 6/36 = 1/6, mientras que P(suma = 2) = 1/36: el 7 es seis veces más probable que el 2 porque hay seis maneras de formarlo y solo una de formar el 2. De la definición se deducen las reglas básicas: la probabilidad del complementario es 1 − P(A), y la de la unión de dos sucesos es P(A) + P(B) − P(A ∩ B), restando la intersección para no contarla dos veces.

La ley de los grandes números conecta esta teoría con la experiencia: si repetimos el experimento muchas veces, la frecuencia relativa de un suceso se acerca a su probabilidad. Con diez tiradas el histograma de sumas es irregular; con mil ya dibuja la característica forma triangular centrada en el 7. Esa convergencia es lo que permite comprobar en la práctica un cálculo hecho sobre el papel y, a la inversa, estimar probabilidades que no sabemos calcular.

Fórmulas clave

• Regla de LaplaceP(A) = casos favorables / casos posibles
• ComplementarioP(Aᶜ) = 1 − P(A)
• Unión de sucesosP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
• Sucesos independientesP(A ∩ B) = P(A) · P(B)
• Suma de dos dadosP(suma = s) = (6 − |s − 7|) / 36, s = 2, …, 12

Dónde se aplica

Los juegos de azar fueron la cuna de la probabilidad: la banca de un casino fija sus premios de modo que cada apuesta le deje un margen pequeño pero seguro a largo plazo. En control de calidad, si un lote tiene 5 piezas defectuosas entre 100, la probabilidad de que una inspección al azar de 2 piezas no detecte ninguna se calcula contando casos favorables y posibles. Y en criptografía, la probabilidad de que un atacante acierte una clave de 128 bits en un intento es 1/2¹²⁸, un número tan pequeño que la fuerza bruta resulta inútil.

Con programación (Python)

import random

# Espacio muestral de dos dados: 36 pares equiprobables
omega = [(a, b) for a in range(1, 7) for b in range(1, 7)]

def probabilidad(condicion):
    favorables = sum(1 for r in omega if condicion(r))
    return f"{favorables}/36 = {favorables / 36:.4f}"

print("P(suma = 7)   =", probabilidad(lambda r: r[0] + r[1] == 7))
print("P(suma >= 10) =", probabilidad(lambda r: r[0] + r[1] >= 10))
print("P(algún 6)    =", probabilidad(lambda r: 6 in r))
print("P(dobles)     =", probabilidad(lambda r: r[0] == r[1]))

# Distribución de la suma
for s in range(2, 13):
    print(f"suma {s:2d} -> {6 - abs(s - 7)}/36")

# Ley de los grandes números: frecuencia relativa de suma = 7
random.seed(1)
n = 10000
sietes = sum(1 for _ in range(n) if random.randint(1, 6) + random.randint(1, 6) == 7)
print("Frecuencia de 7 en", n, "tiradas:", sietes / n, "(teórica 0.1667)")

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