Razones de cambio relacionadas

La idea

En muchos problemas varias magnitudes dependen del tiempo y están ligadas por una relación geométrica o física. Las razones de cambio relacionadas consisten en derivar esa relación respecto al tiempo, usando la regla de la cadena, para obtener una ecuación entre las velocidades de cambio. Si se conoce el ritmo al que varía una magnitud, la ecuación permite deducir el ritmo de las demás en ese instante. La clave del método es derivar antes de sustituir los valores numéricos del instante concreto.

El ejemplo clásico es la escalera que resbala: una escalera de longitud L apoyada en una pared cumple x² + y² = L², donde x es la distancia de la base a la pared e y la altura del extremo superior. Derivando, 2x·x' + 2y·y' = 0, de donde y' = −(x/y)·x'. Si la base se aleja a 1 m/s y la escalera de 5 m tiene la base a 3 m, el extremo baja a 0,75 m/s; pero cuando la base está a 4,9 m baja ya a casi 5 m/s, y la velocidad tiende a infinito cuando y → 0.

Otros casos típicos: un globo esférico que se infla a ritmo constante dV/dt tiene un radio que crece cada vez más despacio, dr/dt = (dV/dt)/(4πr²); en un depósito cónico con la altura proporcional al radio, el nivel sube a razón dh/dt = (dV/dt)/(πr²), rapidísimo al principio y lento cuando el cono se ensancha; y la sombra de una persona que se aleja de una farola crece a velocidad constante. El procedimiento es siempre el mismo: dibujar, escribir la relación, derivar con la cadena y sustituir.

Fórmulas clave

• Regla de la cadena en el tiempod/dt f(x(t)) = f'(x) · dx/dt
• Escalerax² + y² = L² ⇒ dy/dt = −(x/y) · dx/dt
• Globo esféricoV = (4/3)πr³ ⇒ dr/dt = (dV/dt) / (4πr²)
• Depósito cónico (h = 2r)V = πh³/12 ⇒ dh/dt = 4(dV/dt) / (πh²)
• Ángulo de la escalerax = L cos θ ⇒ dθ/dt = −(dx/dt) / (L sen θ)

Dónde se aplica

Los sistemas de control de tráfico aéreo calculan la velocidad a la que se acercan dos aviones derivando la distancia entre ellos a partir de sus velocidades. En medicina, la velocidad de infusión de un suero se traduce en la rapidez con la que baja el nivel del gotero, un problema de depósito. En ingeniería, la rapidez con la que un brazo robótico debe girar cada articulación para que la pinza avance a velocidad constante es un problema de razones relacionadas (cinemática inversa diferencial), y en astronomía se estima la velocidad de un cometa a partir del ritmo al que cambia su ángulo visto desde la Tierra.

Con programación (Python)

import math

# Escalera de L = 5 m; la base se aleja de la pared a 1 m/s
L, vx = 5.0, 1.0
print("x (m)   y (m)   dy/dt (m/s)")
for x in [1, 2, 3, 4, 4.5, 4.9]:
    y = math.sqrt(L * L - x * x)
    vy = -x * vx / y          # de x^2 + y^2 = L^2: 2x x' + 2y y' = 0
    print(f"{x:<7} {y:<7.3f} {vy:.3f}")

# Globo esférico que se infla a 100 cm^3/s: ritmo de crecimiento del radio
dV = 100
for r in [5, 10, 20]:
    dr = dV / (4 * math.pi * r * r)     # V = 4/3 pi r^3 -> dV/dt = 4 pi r^2 dr/dt
    print(f"r={r} cm: dr/dt = {dr:.4f} cm/s")

# Depósito cónico (h = 2r): entran 3 m^3/min. Subida del nivel cuando h = 4 m
dVc, h = 3, 4
dh = dVc / (math.pi * h * h / 4)        # V = pi h^3 / 12 -> dV/dt = pi h^2 / 4 dh/dt
print("dh/dt =", dh, "m/min")

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