Recta tangente y aproximación lineal

La idea

La recta tangente a la gráfica de f en el punto (x₀, f(x₀)) es la recta que pasa por ese punto con pendiente f'(x₀): y = f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀). Es la recta que mejor se ajusta a la curva cerca del punto, en el sentido de que la diferencia entre ambas es mucho menor que x − x₀. La recta normal es la perpendicular a la tangente en ese mismo punto, con pendiente −1/f'(x₀) (o vertical si la tangente es horizontal); aparece en óptica, en el trazado de curvas paralelas y en el cálculo de distancias a una curva.

Si nos quedamos con la tangente y olvidamos la curva obtenemos la aproximación lineal o linealización L(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀). Sirve para estimar valores difíciles a partir de uno fácil: √4,1 ≈ 2 + 0,1/4 = 2,025, con un error de solo 0,00015. El error de la aproximación crece con el cuadrado de la distancia Δx = x − x₀ (más exactamente vale ½ f''(ξ) Δx² para algún ξ intermedio), de modo que al reducir Δx a la mitad el error cae a la cuarta parte.

Los diferenciales son la misma idea escrita con otra notación: si dx es un pequeño cambio en x, el cambio correspondiente sobre la tangente es dy = f'(x₀) dx, mientras que el cambio real sobre la curva es Δy = f(x₀ + dx) − f(x₀). La diferencia Δy − dy es el error de la linealización. Esta notación es la que se usa en la propagación de errores: un error dx en una medida se traduce en un error aproximado |f'(x₀)| dx en cualquier magnitud calculada a partir de ella.

Fórmulas clave

• Recta tangentey = f(x₀) + f'(x₀) (x − x₀)
• Recta normaly = f(x₀) − (x − x₀) / f'(x₀)
• Aproximación linealf(x) ≈ L(x) = f(x₀) + f'(x₀) (x − x₀)
• Error de la linealizaciónf(x) − L(x) = ½ f''(ξ) (x − x₀)²
• Diferencialdy = f'(x₀) dx
• Propagación de erroresΔf ≈ |f'(x₀)| Δx

Dónde se aplica

Las calculadoras y las bibliotecas numéricas evalúan raíces y funciones trigonométricas partiendo de una aproximación lineal (o polinómica) y refinándola. En física, el péndulo se resuelve fácilmente porque para ángulos pequeños sen θ ≈ θ: es la tangente de la función seno en el origen. En ingeniería, la propagación de incertidumbres desde un instrumento hasta la magnitud final se calcula con diferenciales, y en gráficos por computadora el sombreado de una superficie curva se obtiene aproximándola por planos tangentes en cada vértice.

Con programación (Python)

import math

f = lambda x: math.sqrt(x)
df = lambda x: 1 / (2 * math.sqrt(x))
x0 = 4
m = df(x0)
print(f"Tangente a sqrt(x) en x0 = 4: y = {f(x0)} + {m}(x - 4)")
print(f"Normal: y = {f(x0)} - {1 / m}(x - 4)")

def L(x):
    return f(x0) + m * (x - x0)

print("\nAproximación lineal frente al valor real:")
for x in [4.1, 4.5, 5, 6, 9]:
    print(f"x={x:<4} L(x)={L(x):.5f}  sqrt(x)={f(x):.5f}  error={abs(f(x) - L(x)):.5f}")

# Diferenciales: dy = f'(x0) dx frente al incremento real
dx = 0.2
print("\ndy =", m * dx, "  Δy =", f(x0 + dx) - f(x0))

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