La recta en el plano

La idea

Una recta es el conjunto de puntos del plano que avanzan siempre en la misma dirección. Esa dirección se resume en un número: la pendiente m, que mide cuánto sube y por cada unidad que avanza x. Si m es positiva la recta sube; si es negativa, baja; si es cero, es horizontal; y si la recta es vertical la pendiente no está definida.

Conocidos dos puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂), la pendiente es el cociente de incrementos Δy/Δx. Con un punto y la pendiente se escribe la forma punto-pendiente; despejando y se llega a la forma explícita y = mx + b, donde b es la ordenada en el origen (el corte con el eje Y). La forma general Ax + By + C = 0 admite también las rectas verticales.

Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente y perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es −1. Este criterio convierte preguntas geométricas (¿se cortan?, ¿forman ángulo recto?) en simples comprobaciones aritméticas.

Fórmulas clave

• Pendientem = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
• Punto-pendientey − y₁ = m (x − x₁)
• Explícitay = m x + b
• GeneralA x + B y + C = 0, m = −A/B
• Perpendicularidadm₁ · m₂ = −1

Dónde se aplica

En economía, el coste total de producir x unidades suele modelarse como una recta C(x) = c·x + F: la pendiente c es el coste variable por unidad y la ordenada F el coste fijo. En física, la posición de un móvil con velocidad constante es una recta en el diagrama tiempo-posición y su pendiente es la velocidad. En programación gráfica, el algoritmo de Bresenham dibuja rectas en pantalla decidiendo píxel a píxel a partir de la pendiente.

Con programación (Python)

# Recta por dos puntos: pendiente, ordenada y forma general
def recta_por_dos_puntos(p1, p2):
    (x1, y1), (x2, y2) = p1, p2
    if x1 == x2:
        return None, None, f"x = {x1}"  # recta vertical
    m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
    b = y1 - m * x1
    return m, b, f"y = {m:.3f}x + {b:.3f}"

m, b, texto = recta_por_dos_puntos((1, 2), (4, 8))
print("Pendiente:", m)
print("Ordenada en el origen:", b)
print(texto)

# Perpendicular que pasa por (4, 8)
m_perp = -1 / m
print(f"Perpendicular: y = {m_perp:.3f}x + {8 - m_perp*4:.3f}")

La versión en JavaScript, editable y ejecutable en el navegador, está en la página interactiva del tema.

Temas relacionados

Distancia y punto medio · Vectores en el plano · Regresión lineal simple