Reglas de derivación y regla de la cadena

La idea

Casi todas las funciones que aparecen en la práctica se construyen combinando funciones elementales, y para derivarlas bastan unas pocas reglas. La derivada de una suma es la suma de derivadas, pero la del producto no es el producto de derivadas: (u·v)' = u'v + uv'. Para el cociente, (u/v)' = (u'v − uv') / v². Ambas se demuestran a partir de la definición como límite sumando y restando un término adecuado en el numerador del cociente incremental.

La regla más potente es la regla de la cadena, que resuelve la composición f(g(x)): su derivada es f'(g(x)) · g'(x), es decir, la derivada de la función exterior evaluada en la interior, multiplicada por la derivada de la interior. En la notación de Leibniz se lee como una cancelación de fracciones: dy/dx = (dy/du)·(du/dx). Intuitivamente, si u cambia 3 veces más rápido que x, e y cambia 2 veces más rápido que u, entonces y cambia 6 veces más rápido que x: las tasas de cambio se multiplican.

La regla de la cadena se encadena tantas veces como haga falta (para f(g(h(x))) se multiplican tres derivadas) y de ella derivan la derivación implícita, que permite derivar curvas dadas por ecuaciones como x² + y² = 25, y la derivada de la función inversa, (f⁻¹)'(y) = 1/f'(x). Dominar estas reglas convierte la derivación en un procedimiento mecánico: descomponer la función en capas, derivar cada capa y multiplicar. Es exactamente lo que hacen los sistemas de diferenciación automática de los lenguajes de programación modernos.

Fórmulas clave

• Producto(u · v)' = u' v + u v'
• Cociente(u / v)' = (u' v − u v') / v²
• Cadena[f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x)
• Notación de Leibnizdy/dx = (dy/du) · (du/dx)
• Función inversa(f⁻¹)'(y) = 1 / f'(f⁻¹(y))
• Ejemplo[sen(x²)]' = cos(x²) · 2x

Dónde se aplica

La retropropagación con la que se entrenan las redes neuronales no es más que la regla de la cadena aplicada capa a capa: el error se propaga hacia atrás multiplicando derivadas locales. En física, la potencia disipada P = I²R en un circuito cuya corriente varía con el tiempo se deriva con la cadena para obtener dP/dt = 2IR·dI/dt. En economía, si el ingreso depende de las ventas y las ventas dependen del precio, la sensibilidad del ingreso al precio es el producto de ambas sensibilidades; y en farmacocinética, la concentración de un fármaco compuesta con la respuesta del organismo se analiza del mismo modo.

Con programación (Python)

import math

# y = sen(x^2 + 1): exterior f(u) = sen u, interior g(x) = x^2 + 1
def g(x): return x * x + 1
def dg(x): return 2 * x
def f(u): return math.sin(u)
def df(u): return math.cos(u)

def h(x): return f(g(x))
def dh_cadena(x): return df(g(x)) * dg(x)
def numerica(fn, x, eps=1e-6):
    return (fn(x + eps) - fn(x - eps)) / (2 * eps)

for x in [0.0, 0.5, 1.0, 2.0]:
    print(f"x={x}: cadena={dh_cadena(x):.6f}  numérica={numerica(h, x):.6f}")

# Regla del producto: (x e^x)' = e^x (1 + x)
p = lambda x: x * math.exp(x)
print("producto en x=1:", numerica(p, 1), " exacta:", 2 * math.e)

# Regla del cociente: (sen x / x)' = (x cos x - sen x) / x^2
q = lambda x: math.sin(x) / x
x = 2.0
print("cociente en x=2:", numerica(q, x), " exacta:", (x * math.cos(x) - math.sin(x)) / x ** 2)

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