Sumas de Riemann y la integral definida

La idea

Para medir el área bajo una curva y = f(x) entre x = a y x = b, la idea más antigua y más fecunda es trocearla. Se divide el intervalo [a, b] en n subintervalos de anchura Δx = (b − a)/n y sobre cada uno se levanta un rectángulo cuya altura es el valor de f en algún punto del subintervalo. La suma de las áreas de esos rectángulos es una suma de Riemann. Según el punto elegido, se habla de suma por la izquierda (extremo izquierdo), por la derecha (extremo derecho) o del punto medio.

Con pocos rectángulos la aproximación es tosca; al aumentar n los escalones se afinan y las tres sumas se acercan al mismo número. Ese límite común, cuando existe, es la integral definida ∫ₐᵇ f(x) dx. Para funciones continuas el límite siempre existe, y las sumas izquierda y derecha lo encierran entre ambas si f es monótona: si f crece, la suma izquierda queda por debajo y la derecha por encima.

La integral no solo mide áreas: cualquier magnitud que se acumule sumando «trocitos» pequeños (distancia recorrida a partir de la velocidad, trabajo a partir de la fuerza, masa a partir de la densidad) se calcula así. Y la regla del punto medio, que suele ser la más precisa de las tres, es el germen de los métodos numéricos de integración como el trapecio y Simpson.

Fórmulas clave

• Anchura de los subintervalosΔx = (b − a) / n, xᵢ = a + i·Δx
• Suma por la izquierdaLₙ = Σᵢ₌₀ⁿ⁻¹ f(xᵢ) Δx
• Suma por la derechaRₙ = Σᵢ₌₁ⁿ f(xᵢ) Δx
• Suma del punto medioMₙ = Σᵢ₌₀ⁿ⁻¹ f((xᵢ + xᵢ₊₁)/2) Δx
• Integral definida∫ₐᵇ f(x) dx = lim_{n→∞} Σ f(xᵢ*) Δx

Dónde se aplica

Un odómetro digital no conoce la función velocidad: recibe lecturas del GPS cada segundo y suma velocidad × 1 s, exactamente una suma de Riemann. En farmacología, el «área bajo la curva» de la concentración de un fármaco en sangre se obtiene sumando trapecios entre las tomas de muestra y decide la dosis de un tratamiento. Y en finanzas, el volumen negociado durante una sesión es la suma de las operaciones por intervalos de tiempo, un caso de integral discreta.

Con programación (Python)

# Sumas de Riemann de f(x) = x^2 en [0, 2]; valor exacto 8/3
def riemann(f, a, b, n, tipo="medio"):
    dx = (b - a) / n
    total = 0.0
    for i in range(n):
        if tipo == "izquierda":
            x = a + i * dx
        elif tipo == "derecha":
            x = a + (i + 1) * dx
        else:
            x = a + (i + 0.5) * dx
        total += f(x) * dx
    return total

f = lambda x: x * x
exacto = 8 / 3
for n in [4, 10, 100, 1000]:
    L = riemann(f, 0, 2, n, "izquierda")
    R = riemann(f, 0, 2, n, "derecha")
    M = riemann(f, 0, 2, n, "medio")
    print(f"n={n:5d}  izq={L:.5f}  der={R:.5f}  medio={M:.5f}  error medio={abs(M-exacto):.2e}")
print("Valor exacto:", exacto)

La versión en JavaScript, editable y ejecutable en el navegador, está en la página interactiva del tema.

Temas relacionados

Teorema fundamental del cálculo · Integración numérica: trapecio y Simpson · Límites y continuidad