Sólidos de revolución: discos y arandelas

La idea

Si la región bajo y = f(x) entre a y b gira alrededor del eje X, cada franja vertical delgada barre un disco de radio f(x) y grosor dx, cuyo volumen es π f(x)² dx. Sumando todos los discos se obtiene el método de los discos: V = π ∫ₐᵇ f(x)² dx. Es la fórmula que da el volumen de un cono (f(x) = rx/h), de una esfera (f(x) = √(R² − x²)) o de una vasija torneada.

Cuando la región está entre dos curvas, f por fuera y g por dentro, cada rodaja es una arandela (un disco con un agujero): su área es π[f(x)² − g(x)²] y el volumen V = π ∫ₐᵇ [f(x)² − g(x)²] dx. Un error muy común es escribir π ∫ (f − g)² dx: la diferencia de cuadrados no es el cuadrado de la diferencia.

Si el giro es alrededor del eje Y, se puede integrar respecto a y (discos horizontales) o usar el método de las capas cilíndricas, V = 2π ∫ₐᵇ x f(x) dx, que apila cilindros huecos concéntricos. Elegir entre discos y capas depende de qué variable haga más sencillo el integrando.

Fórmulas clave

• Discos (giro en X)V = π ∫ₐᵇ f(x)² dx
• ArandelasV = π ∫ₐᵇ [f(x)² − g(x)²] dx
• Capas cilíndricas (giro en Y)V = 2π ∫ₐᵇ x f(x) dx
• Conof(x) = r x / h en [0, h] ⇒ V = π r² h / 3
• Esferaf(x) = √(R² − x²) en [−R, R] ⇒ V = 4π R³ / 3

Dónde se aplica

Los programas de diseño asistido (CAD) calculan el volumen y la masa de piezas torneadas (ejes, boquillas, botellas) integrando su perfil de revolución, y de ahí obtienen el coste de material. En medicina, el volumen de un tumor o de un ventrículo cardiaco se estima a partir de su contorno en las imágenes de resonancia sumando rodajas. Y en ingeniería civil, la capacidad de un depósito o de un silo con paredes curvas se obtiene con el método de los discos aplicado a la sección del recipiente.

Con programación (Python)

import math

def discos(f, a, b, n=2000):
    """Volumen por discos: pi * integral de f^2 (regla del punto medio)"""
    dx = (b - a) / n
    return math.pi * sum(f(a + (i + 0.5) * dx) ** 2 for i in range(n)) * dx

def arandelas(f, g, a, b, n=2000):
    dx = (b - a) / n
    return math.pi * sum(f(a + (i + 0.5) * dx) ** 2 - g(a + (i + 0.5) * dx) ** 2 for i in range(n)) * dx

# Cono de radio 2 y altura 5: f(x) = 2x/5 en [0, 5]
print("Cono:", round(discos(lambda x: 2 * x / 5, 0, 5), 4), " exacto:", round(math.pi * 4 * 5 / 3, 4))
# Esfera de radio 3
print("Esfera:", round(discos(lambda x: math.sqrt(max(9 - x * x, 0)), -3, 3), 4), " exacto:", round(4 * math.pi * 27 / 3, 4))
# Arandela: región entre y = x (fuera) e y = x^2 (dentro) en [0, 1] girando en X
print("Arandela:", round(arandelas(lambda x: x, lambda x: x * x, 0, 1), 5), " exacto 2π/15 =", round(2 * math.pi / 15, 5))

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