Polinomios de Taylor

La idea

La recta tangente aproxima una función con un polinomio de grado 1 que coincide con ella en valor y derivada. El polinomio de Taylor de grado n lleva la idea más lejos: es el único polinomio de grado n cuyas n primeras derivadas en x₀ coinciden con las de f. Sus coeficientes son f⁽ᵏ⁾(x₀)/k!, de modo que Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(x₀)/k! · (x − x₀)ᵏ. Cuando x₀ = 0 se llama polinomio de Maclaurin y da fórmulas memorables: eˣ ≈ 1 + x + x²/2 + x³/6 + …, sen x ≈ x − x³/6 + x⁵/120 − …

La diferencia entre la función y el polinomio es el resto Rₙ(x) = f(x) − Pₙ(x). La forma de Lagrange lo expresa como f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n+1)! · (x − x₀)ⁿ⁺¹ para algún ξ entre x₀ y x, lo que permite acotar el error: para eˣ en [0, 1] con n = 8 el error es menor que e/9! ≈ 7,5·10⁻⁶. El resto decrece con la distancia a x₀ (como una potencia) y con el grado (gracias al factorial), pero solo si las derivadas sucesivas de f no crecen demasiado deprisa.

Al dejar n → ∞ se obtiene la serie de Taylor. Para eˣ, sen x y cos x converge a la función en toda la recta real; en cambio ln(1 + x) y 1/(1 − x) solo convergen en |x| < 1 (la serie geométrica 1 + x + x² + … explota fuera): ese radio de convergencia está dictado por la singularidad más cercana en el plano complejo. Fuera del intervalo de convergencia añadir términos empeora la aproximación en lugar de mejorarla, algo que se ve claramente al superponer polinomios de grados crecientes.

Fórmulas clave

• Polinomio de TaylorPₙ(x) = Σₖ₌₀ⁿ f⁽ᵏ⁾(x₀)/k! · (x − x₀)ᵏ
• Resto de LagrangeRₙ(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n+1)! · (x − x₀)ⁿ⁺¹, ξ entre x₀ y x
• Exponencialeˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + … (todo x)
• Seno y cosenosen x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …
• Logaritmoln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − … (−1 < x ≤ 1)
• Serie geométrica1/(1 − x) = 1 + x + x² + x³ + … (|x| < 1)

Dónde se aplica

Los procesadores y bibliotecas matemáticas calculan exp, sen, cos y log con polinomios de tipo Taylor (o variantes optimizadas) sobre intervalos pequeños. En física, la energía relativista E = mc²/√(1 − v²/c²) desarrollada en serie da mc² + ½mv² + …: la energía cinética clásica es el segundo término de Taylor. En finanzas, la duración y la convexidad de un bono son los términos de primer y segundo orden del precio respecto al tipo de interés, y en estadística la aproximación normal de muchas distribuciones nace de desarrollar el logaritmo de la verosimilitud hasta segundo orden.

Con programación (Python)

import math

def taylor_exp(x, n):
    return sum(x ** k / math.factorial(k) for k in range(n + 1))

def taylor_sen(x, n):
    return sum((-1) ** k * x ** (2 * k + 1) / math.factorial(2 * k + 1) for k in range(n + 1))

print("e =", math.e)
for n in range(0, 9):
    p = taylor_exp(1.0, n)
    print(f"n={n}  P_n(1)={p:.8f}  error={abs(math.e - p):.2e}")

x = math.pi / 3
print("\nsen(pi/3) =", math.sin(x))
for m in range(0, 5):
    p = taylor_sen(x, m)
    print(f"grado {2 * m + 1}: {p:.8f}  error={abs(math.sin(x) - p):.2e}")

# Cota del resto de Lagrange para e^x en [0, 1] con n = 8: e / 9!
print("\ncota del resto (n=8):", math.e / math.factorial(9))

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