Media, mediana y moda

La idea

Cuando tenemos muchos datos necesitamos un número que los represente: una medida de tendencia central. La más conocida es la media aritmética x̄, la suma de todos los valores dividida entre cuántos hay. Es el «centro de gravedad» de los datos: si colocáramos cada valor como un peso sobre una regla, la media es el punto donde la regla quedaría en equilibrio. Usa toda la información disponible, lo que la hace muy eficiente cuando los datos son simétricos y sin sorpresas.

La mediana es el valor que queda en el centro una vez ordenados los datos: la mitad están por debajo y la mitad por encima. Si el número de datos es par se promedian los dos centrales. La moda es simplemente el valor más repetido; puede no existir (todos distintos) o haber varias (distribución bimodal). La moda es la única de las tres que tiene sentido para datos cualitativos, como el color favorito o la marca más vendida.

La diferencia esencial está en la sensibilidad a los valores atípicos. Un único dato extremo arrastra la media hacia él, mientras que la mediana apenas se mueve: por eso el salario «típico» de un país se describe con la mediana y no con la media, que quedaría inflada por unas pocas fortunas. Comparar media y mediana revela además la asimetría de la distribución: si la media supera a la mediana hay una cola larga hacia la derecha; si es menor, la cola está a la izquierda; y si coinciden, los datos suelen ser simétricos.

Fórmulas clave

• Media aritméticax̄ = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n = (1/n) Σ xᵢ
• Mediana (n impar)Me = x₍(n+1)/2₎ (datos ordenados)
• Mediana (n par)Me = [x₍n/2₎ + x₍n/2+1₎] / 2
• Media ponderadax̄_w = Σ wᵢ xᵢ / Σ wᵢ
• Asimetría (regla práctica)x̄ > Me → cola a la derecha; x̄ < Me → cola a la izquierda

Dónde se aplica

Los informes de salarios y de precios de vivienda usan la mediana porque unos pocos valores enormes distorsionarían la media. En procesamiento de imágenes, el filtro de mediana elimina el ruido «sal y pimienta» sustituyendo cada píxel por la mediana de sus vecinos, algo que la media no consigue sin emborronar los bordes. Y en control de calidad industrial se vigila la media de cada lote: una desviación sostenida respecto al valor objetivo delata una máquina desajustada antes de que produzca piezas defectuosas.

Con programación (Python)

import statistics as st

datos = [3, 5, 5, 7, 9, 11, 12]
print("Datos:", datos)
print("Media:", round(st.mean(datos), 4))
print("Mediana:", st.median(datos))
print("Moda:", st.mode(datos))

# Añadimos un valor atípico y repetimos
con_atipico = datos + [100]
print("\nCon el valor atípico 100:")
print("Media:", round(st.mean(con_atipico), 4))
print("Mediana:", st.median(con_atipico))
print("Moda:", st.mode(con_atipico))

# Media recortada: se descartan el menor y el mayor
ordenados = sorted(con_atipico)
print("Media recortada:", round(st.mean(ordenados[1:-1]), 4))

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