Teorema central del límite

La idea

El teorema central del límite (TCL) es el resultado más importante de la probabilidad: si tomamos muestras de tamaño n de cualquier distribución con media μ y desviación típica σ finitas, la distribución de la media muestral X̄ se aproxima a una normal N(μ, σ/√n) a medida que n crece, sea cual sea la forma de la distribución original. Da igual que partamos de un dado, de tiempos de espera exponenciales o de una distribución con dos jorobas: las medias acaban dibujando una campana.

El teorema dice dos cosas. La primera es cualitativa: la forma se vuelve normal. La segunda es cuantitativa: la dispersión de las medias es el error típico σ/√n, que se reduce con la raíz del tamaño muestral. Para dividir el error por 2 hay que cuadruplicar la muestra; para dividirlo por 10, multiplicarla por 100. Con n = 30 la aproximación suele ser ya muy buena, aunque distribuciones muy asimétricas requieren más.

El TCL explica por qué la normal aparece por todas partes: cualquier magnitud que resulte de sumar muchas contribuciones pequeñas e independientes (errores de medida, alturas, ruido) tiende a ser normal. Y es la base de la inferencia estadística: los intervalos de confianza y los contrastes de hipótesis sobre una media usan la normalidad de X̄ aunque la población no sea normal. Su hermana, la ley de los grandes números, asegura que X̄ converge a μ; el TCL añade a qué velocidad y con qué forma.

Fórmulas clave

• EnunciadoX̄ₙ ≈ N(μ, σ/√n) cuando n → ∞
• Forma estandarizadaZ = (X̄ₙ − μ) / (σ/√n) → N(0, 1)
• Error típico de la mediaσ_X̄ = σ / √n
• Suma de n variablesSₙ = X₁ + … + Xₙ ≈ N(n μ, σ √n)
• Intervalo del 95 % para X̄μ ± 1,96 σ/√n

Dónde se aplica

Las encuestas electorales con 1000 entrevistados tienen un margen de error del ±3 % precisamente porque el error típico de una proporción es √(p(1 − p)/n) ≈ 0,016 y el intervalo del 95 % es ±1,96 veces esa cantidad. En control de calidad, el gráfico X̄ de Shewhart vigila la media de muestras pequeñas usando límites normales aunque la medida individual no lo sea. En física, el ruido térmico de un circuito es gaussiano porque suma las contribuciones de billones de electrones, y en finanzas el rendimiento de una cartera diversificada se aproxima a la normal por la misma razón.

Con programación (Python)

import random
import statistics
import math

random.seed(5)

def media_muestral(n):
    # Distribución de origen: exponencial de media 1 (muy asimétrica)
    return statistics.mean(random.expovariate(1.0) for _ in range(n))

for n in (1, 5, 30):
    medias = [media_muestral(n) for _ in range(2000)]
    m = statistics.mean(medias)
    s = statistics.pstdev(medias)
    error_teorico = 1 / math.sqrt(n)
    dentro = sum(1 for x in medias if abs(x - 1) < 1.96 * error_teorico) / len(medias)
    print(f"n = {n:2d}: media {m:.3f}  desv. {s:.3f}  teórica {error_teorico:.3f}  "
          f"dentro de ±1.96 SE: {dentro:.1%}")

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