Teorema fundamental del cálculo

La idea

Fija un punto a y define la función área A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt: el área acumulada bajo f desde a hasta un punto móvil x. Si x avanza un poquito h, el área crece en una franja delgada de anchura h y altura aproximadamente f(x), de modo que A(x + h) − A(x) ≈ f(x)·h. Dividiendo por h y pasando al límite resulta la primera parte del teorema fundamental: A'(x) = f(x). La función área es una primitiva de f.

De ahí sale la segunda parte, la que se usa a diario: si F es cualquier primitiva de f (es decir, F' = f), entonces ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). En vez de sumar infinitos rectángulos basta con encontrar una función cuya derivada sea f y evaluarla en los extremos. Por eso la tabla de derivadas leída al revés se convierte en una tabla de integrales.

El teorema une dos problemas que parecían ajenos, el de la tangente y el de la cuadratura, y explica por qué la velocidad es la derivada de la posición y la posición es la integral de la velocidad. Cuando el límite superior es a su vez una función, la regla de la cadena entra en juego: d/dx ∫ₐ^{g(x)} f(t) dt = f(g(x))·g'(x).

Fórmulas clave

• Función áreaA(x) = ∫ₐˣ f(t) dt
• Primera parteA'(x) = d/dx ∫ₐˣ f(t) dt = f(x)
• Segunda parte (regla de Barrow)∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a), con F' = f
• Límite superior variabled/dx ∫ₐ^{g(x)} f(t) dt = f(g(x)) · g'(x)
• Propiedades∫ₐᵃ f = 0, ∫ₐᵇ f = −∫ᵦᵃ f, ∫ₐᵇ f = ∫ₐᶜ f + ∫꜀ᵇ f

Dónde se aplica

En física, la posición de un cohete se obtiene integrando su velocidad y la velocidad integrando la aceleración medida por el acelerómetro: los sistemas de navegación inercial hacen exactamente eso en tiempo real. En estadística, la función de distribución acumulada F(x) = ∫₋∞ˣ f(t) dt tiene como derivada la densidad f, y las probabilidades entre dos valores se leen como F(b) − F(a). En ingeniería hidráulica, el volumen almacenado en un embalse es la integral del caudal neto, y su derivada instantánea es el caudal de entrada menos el de salida.

Con programación (Python)

import math

# Función área A(x) = integral de cos(t) de 0 a x, calculada con la regla del punto medio
def area(f, a, x, n=2000):
    dx = (x - a) / n
    return sum(f(a + (i + 0.5) * dx) for i in range(n)) * dx

f = math.cos
print("   x      A(x)     sen(x)    A'(x)     cos(x)")
for x in [0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5]:
    A = area(f, 0, x)
    h = 1e-4
    derivada = (area(f, 0, x + h) - area(f, 0, x - h)) / (2 * h)
    print(f"{x:5.2f}  {A:8.5f}  {math.sin(x):8.5f}  {derivada:8.5f}  {math.cos(x):8.5f}")

# Segunda parte: integral de 3x^2 en [1, 3] = F(3) - F(1) con F(x) = x^3
F = lambda x: x ** 3
print("Barrow:", F(3) - F(1), " numérica:", round(area(lambda x: 3 * x * x, 1, 3), 6))

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