Valor medio de una función

La idea

La media de n números es su suma dividida por n. Para una función continua en [a, b], que toma infinitos valores, la suma se convierte en integral y el «número de valores» en la longitud del intervalo: el valor medio es f̄ = [1/(b − a)] ∫ₐᵇ f(x) dx. Geométricamente, f̄ es la altura del rectángulo de base b − a que tiene exactamente la misma área que la región bajo la curva: lo que sobra por encima de la línea media compensa lo que falta por debajo.

El teorema del valor medio para integrales afirma que, si f es continua, ese promedio se alcanza: existe al menos un punto c en [a, b] con f(c) = f̄, es decir, ∫ₐᵇ f(x) dx = f(c)·(b − a). Es la versión integral del teorema de Lagrange y se demuestra aplicando el teorema del valor intermedio a una función que va del mínimo al máximo de f.

Con el teorema fundamental, el valor medio de f = F' se escribe [F(b) − F(a)]/(b − a): la velocidad media de un viaje es la variación de posición entre el tiempo, aunque la velocidad instantánea haya cambiado sin parar. Para funciones periódicas el promedio sobre un periodo elimina la oscilación y deja el nivel de continua; para el cuadrado de una señal alterna define la potencia media y el valor eficaz (RMS).

Fórmulas clave

• Valor mediof̄ = [1/(b − a)] ∫ₐᵇ f(x) dx
• Teorema del valor medio∃ c ∈ [a, b] : ∫ₐᵇ f(x) dx = f(c)·(b − a)
• Con primitivaf̄ = [F(b) − F(a)] / (b − a)
• Valor eficazf_RMS = √( [1/(b − a)] ∫ₐᵇ f(x)² dx )
• Ejemplof(x) = x² en [0, 3]: f̄ = 9/3 = 3, c = √3

Dónde se aplica

La temperatura media diaria que publica un servicio meteorológico es el valor medio de la curva de temperatura sobre 24 horas, no el promedio de máxima y mínima. En electricidad, los 230 V de la red doméstica son el valor eficaz de una senoide de 325 V de pico: la potencia media disipada en una resistencia es V_RMS²/R. En economía el coste medio por unidad cuando la producción varía de forma continua es el valor medio de la función de coste marginal, y en hidrología el caudal medio anual de un río se obtiene integrando el hidrograma.

Con programación (Python)

import math

def integral(f, a, b, n=4000):
    dx = (b - a) / n
    return sum(f(a + (i + 0.5) * dx) for i in range(n)) * dx

def valor_medio(f, a, b):
    return integral(f, a, b) / (b - a)

def punto_c(f, a, b, media, pasos=4000):
    """Primer punto donde f(c) = media (bisección en el primer cambio de signo)"""
    xs = [a + (b - a) * i / pasos for i in range(pasos + 1)]
    for x0, x1 in zip(xs, xs[1:]):
        if (f(x0) - media) * (f(x1) - media) <= 0:
            for _ in range(50):
                m = (x0 + x1) / 2
                if (f(x0) - media) * (f(m) - media) <= 0: x1 = m
                else: x0 = m
            return (x0 + x1) / 2

m = valor_medio(lambda x: x * x, 0, 3)
print("Media de x² en [0, 3]:", round(m, 6), " c =", round(punto_c(lambda x: x * x, 0, 3, m), 6), "(√3 =", round(math.sqrt(3), 6), ")")

# Temperatura T(t) = 20 + 8 sen(pi (t - 8) / 12) entre las 6 h y las 18 h
T = lambda t: 20 + 8 * math.sin(math.pi * (t - 8) / 12)
print("Temperatura media 6-18 h:", round(valor_medio(T, 6, 18), 4), "°C")

# Potencia media de una senoide: v(t) = 325 sen(100 pi t), R = 50 ohm
v = lambda t: 325 * math.sin(100 * math.pi * t)
p_media = valor_medio(lambda t: v(t) ** 2 / 50, 0, 0.02)
print("Potencia media:", round(p_media, 2), "W   V_RMS =", round(math.sqrt(p_media * 50), 2), "V")

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