Tema

Autovalores y autovectores

Matemáticas para IA
Nivel intermedio
Con simulador interactivo

Un autovector de una matriz es un vector al que la transformación no gira, solo escala, y el factor de escala es su autovalor.

Nombre en inglés

Eigenvalues and eigenvectors

Intuición

Al deformar una cuadrícula con una matriz, casi todas las flechas cambian de dirección, pero unas pocas se quedan sobre su propia recta y solo se alargan o se encogen. Esas direcciones privilegiadas son los ejes naturales de la transformación, y el análisis de componentes principales no hace otra cosa que buscarlos en la matriz de covarianza.

Fórmula

A v = lambda v ; det(A - lambda I) = 0 ; traza(A) = suma de autovalores ; det(A) = producto de autovalores

Ejemplo resuelto

Sea A la matriz de filas (2, 1) y (1, 2). El polinomio característico es (2 menos lambda) al cuadrado menos 1, cuyas raíces valen 3 y 1. Para lambda igual a 3 el autovector es (1, 1), porque A por (1, 1) da (3, 3). Para lambda igual a 1 el autovector es (1, -1), ya que A por (1, -1) da (1, -1). La traza vale 4 y coincide con 3 más 1, lo que sirve de comprobación rápida.

Errores frecuentes

Olvidar que un autovector está definido salvo escala: Si v es autovector, el doble de v también lo es, de modo que las bibliotecas devuelven la versión de norma 1 y el signo puede cambiar de una ejecución a otra.
Suponer que toda matriz tiene autovalores reales: Una rotación en el plano no deja ninguna dirección fija y sus autovalores son complejos, mientras que la garantía de autovalores reales la dan las matrices simétricas.
Confundir autovalores con valores singulares: Coinciden solo en matrices simétricas y semidefinidas positivas, y para el resto hay que recurrir a la descomposición en valores singulares.

Ejercicio

Una matriz de dos por dos tiene traza 7 y determinante 12. ¿Cuáles son sus autovalores?

Ver la solución

Los autovalores suman la traza y multiplican el determinante, así que se buscan dos números que sumen 7 y den 12 al multiplicarse. Son las raíces de lambda al cuadrado menos 7 lambda más 12.