Tema

Probabilidad condicional y teorema de Bayes

Matemáticas para IA
Nivel base
Con simulador interactivo

El teorema de Bayes invierte una probabilidad condicional: Convierte la probabilidad del dato dada la hipótesis en la probabilidad de la hipótesis dado el dato.

Nombre en inglés

Conditional probability and Bayes theorem

Intuición

Conviene pensar en una población repartida en una tabla de cuatro casillas. Un resultado positivo no señala una casilla, sino una columna entera, dentro de la cual conviven los enfermos detectados y los sanos con falso positivo. Cuando la enfermedad es rara, la casilla de falsos positivos es mucho mayor que la otra, y de ahí que una prueba muy certera siga dando pocos enfermos entre los positivos.

Fórmula

P(A|B) = P(B|A) P(A) / P(B) ; P(B) = P(B|A) P(A) + P(B|noA) P(noA)

Ejemplo resuelto

Una enfermedad afecta al 1 % de la población y una prueba detecta al 99 % de los enfermos con un 5 % de falsos positivos. En 10 000 personas hay 100 enfermos, de los que la prueba señala 99, y 9900 sanos, de los que señala 495. El total de positivos es 594, así que la probabilidad de estar enfermo tras un positivo vale 99 dividido entre 594, es decir 0.167. La intuición suele decir 0.99 y se equivoca por un factor cercano a seis.

Errores frecuentes

Olvidar la probabilidad a priori: Es el error de la tasa base, y aparece siempre que una clase es rara, como ocurre en la detección de fraude.
Intercambiar los dos sentidos del condicionamiento: La probabilidad de tener fiebre teniendo gripe es alta, mientras que la de tener gripe teniendo fiebre es baja.
Suponer independencia sin comprobarla: El clasificador bayesiano ingenuo la supone entre características y acierta bastante al clasificar, aunque las probabilidades que devuelve quedan mal calibradas.

Ejercicio

Una urna contiene dos monedas: Una normal y otra con dos caras. Se toma una al azar y sale cara. ¿Cuál es la probabilidad de haber tomado la moneda de dos caras?

Ver la solución

La moneda de dos caras da cara con probabilidad 1 y la normal con probabilidad 0.5, y ambas se eligen con probabilidad 0.5. El numerador vale 1 por 0.5, es decir 0.5, y el denominador vale 0.5 más 0.25, es decir 0.75. El cociente es 0.5 dividido entre 0.75.