Tema

Distribución normal y teorema central del límite

Matemáticas para IA
Nivel intermedio
Con simulador interactivo

La distribución normal queda descrita por su media y su desviación típica, y el teorema central del límite explica por qué la media de muchas variables independientes tiende a esa forma.

Nombre en inglés

Normal distribution and central limit theorem

Intuición

Al lanzar un dado la distribución es plana, pero al promediar diez dados aparece una campana, y con cien la campana se estrecha. Da igual de qué forma partan las variables individuales: Sumar muchas y dividir borra los detalles y deja siempre el mismo perfil. De ahí que los errores de medición y los promedios de métricas se modelen con una normal.

Fórmula

f(x) = (1 / (sigma sqrt(2 pi))) exp(-(x - mu)^2 / (2 sigma^2)) ; la media de n datos tiene desviacion sigma / sqrt(n)

Ejemplo resuelto

Una normal de media 100 y desviación típica 15 deja el 68 % de la masa entre 85 y 115, el 95 % entre 70 y 130 y el 99.7 % entre 55 y 145. Si se toma la media de 25 observaciones, su desviación típica pasa a ser 15 dividido entre la raíz de 25, es decir 3, y el intervalo central del 95 % se estrecha a los valores entre 94 y 106.

Errores frecuentes

Aplicar el teorema central del límite a muestras pequeñas de distribuciones muy asimétricas: La aproximación necesita más datos cuanto más lejos esté la forma original de la campana.
Confundir la desviación típica de los datos con la de la media: La segunda encoge con la raíz de n, de manera que multiplicar por cuatro la muestra solo reduce el error a la mitad.
Suponer normalidad en variables acotadas o con cola pesada: Un tiempo de respuesta nunca es negativo y su cola derecha es larga, situación en la que conviene la distribución lognormal.

Ejercicio

Un proceso tiene desviación típica 20. ¿Cuántas observaciones hacen falta para que la media muestral tenga desviación típica 2?

Ver la solución

La desviación de la media vale 20 dividido entre la raíz de n, y se quiere que valga 2, de modo que la raíz de n vale 10.