Tema

Esperanza y varianza

Matemáticas para IA
Nivel base

La esperanza es el promedio ponderado de los valores de una variable aleatoria y la varianza mide cuánto se separan de ese promedio.

Nombre en inglés

Expectation and variance

Intuición

La esperanza es el punto de equilibrio de una barra donde cada valor pesa lo que dice su probabilidad. La varianza es el momento de inercia respecto de ese punto, así que crece deprisa en cuanto aparecen valores lejanos, y por eso un solo dato extremo mueve mucho más la varianza que la media.

Fórmula

E[X] = sum_x x P(x) ; Var(X) = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2 ; Var(aX + b) = a^2 Var(X)

Ejemplo resuelto

Un dado honesto de seis caras tiene esperanza igual a la suma 1 más 2 más 3 más 4 más 5 más 6 dividida entre 6, es decir 3.5. La esperanza del cuadrado vale 91 dividido entre 6, o sea 15.167. La varianza es 15.167 menos 3.5 al cuadrado, es decir 15.167 menos 12.25, que da 2.917.

Errores frecuentes

Sumar varianzas de variables dependientes: La igualdad entre la varianza de la suma y la suma de varianzas exige independencia, o al menos covarianza nula.
Confundir varianza con desviación típica: La primera va en unidades al cuadrado, motivo por el cual los informes suelen preferir la segunda.
Dividir entre n al estimar la varianza de una muestra: El estimador insesgado divide entre n menos 1, ya que la media muestral consumió un grado de libertad.

Ejercicio

Una variable vale 0 con probabilidad 0.8 y vale 10 con probabilidad 0.2. ¿Cuánto vale su varianza?

Ver la solución

La esperanza es 0 por 0.8 más 10 por 0.2, es decir 2. La esperanza del cuadrado es 0 por 0.8 más 100 por 0.2, es decir 20. La varianza es 20 menos 2 al cuadrado.

Respuesta: 16