Tema

Matrices y transformaciones lineales

Matemáticas para IA
Nivel base

Una matriz representa una transformación lineal que estira, rota, refleja o proyecta el espacio, y multiplicar matrices equivale a encadenar dos de esas transformaciones.

Nombre en inglés

Matrices and linear transformations

Intuición

Conviene mirar las columnas de la matriz como el destino de los vectores de la base: La primera columna dice dónde acaba el eje horizontal y la segunda dónde acaba el vertical. Toda la cuadrícula se deforma de manera coherente, y el determinante indica en qué proporción cambia el área.

Fórmula

(AB)_{ij} = sum_k A_{ik} B_{kj} ; A x = x_1 a_1 + x_2 a_2 + ... + x_n a_n

Ejemplo resuelto

Sea A la matriz cuyas filas son (2, 0) y (0, 3). Al aplicarla al vector (1, 1) se obtiene (2, 3), de modo que estira el doble en horizontal y el triple en vertical. Su determinante vale 6 y, en efecto, el cuadrado unitario pasa a ser un rectángulo de área 6.

Errores frecuentes

Suponer que el producto de matrices conmuta: En general A por B no coincide con B por A, porque rotar y después estirar no deja el mismo dibujo que estirar y después rotar.
Equivocar el orden al derivar o al programar: Si las filas son los ejemplos, la predicción se escribe X w y no w X, y una forma mal puesta produce resultados sin sentido antes que un fallo claro.
Confundir la transpuesta con la inversa: La transpuesta siempre existe, mientras que la inversa solo existe cuando la matriz es cuadrada y de rango completo.

Ejercicio

Con A de filas (1, 2) y (0, 1), calcule el producto de A por el vector (3, 4).

Ver la solución

La primera componente es 1 por 3 más 2 por 4, que da 11. La segunda es 0 por 3 más 1 por 4, que da 4. La transformación deja la altura intacta y desplaza la horizontal en proporción a esa altura.

Respuesta: (11, 4)