Tema
Rango e independencia lineal
- Matemáticas para IA
- Nivel intermedio
El rango de una matriz es el número de columnas linealmente independientes, es decir, la dimensión del espacio que esas columnas alcanzan a cubrir.
Nombre en inglés
Rank and linear independence
Intuición
Si tres columnas viven en un mismo plano, por muchas que sean solo generan dos direcciones y el rango vale 2. En una tabla de datos, el rango cuenta cuánta información distinta hay en las columnas, y una columna duplicada o una que es suma de otras dos no aporta ninguna.
Fórmula
rango(A) <= min(m, n) ; A cuadrada es invertible si y solo si rango(A) = n
Ejemplo resuelto
La matriz cuyas columnas son (1, 0), (0, 1) y (1, 1) tiene tres columnas en un espacio de dimensión 2, así que su rango vale 2 como mucho. La tercera columna es la suma de las dos primeras, de modo que no añade dirección nueva y el rango vale exactamente 2.
Errores frecuentes
- Creer que más columnas significan más información: Una columna que es combinación de otras deja la matriz X^T X sin inversa y rompe la solución cerrada de la regresión lineal.
- Confundir el rango con el número de columnas no nulas: Una columna distinta de cero puede ser múltiplo de otra y no sumar rango.
- Pasar por alto la colinealidad casi exacta: El rango sigue siendo completo, pero la inversa se vuelve inestable y los coeficientes estimados oscilan sin control de una muestra a otra.
Ejercicio
¿Cuál es el rango de la matriz cuyas filas son (1, 2), (2, 4) y (3, 6)?
Ver la solución
Las tres filas son múltiplos de (1, 2), motivo por el cual todas apuntan en la misma dirección y solo una de ellas es independiente.
Respuesta: 1