Tema

Descomposición en valores singulares

Matemáticas para IA
Nivel avanzado
Con simulador interactivo

Toda matriz real se escribe como el producto de una rotación, un estiramiento a lo largo de ejes perpendiculares y otra rotación, y los factores de ese estiramiento son los valores singulares.

Nombre en inglés

Singular value decomposition

Intuición

Cualquier matriz convierte una esfera en un elipsoide: Las columnas de V dicen qué direcciones de partida se estiran, los valores singulares dicen cuánto y las columnas de U dicen hacia dónde acaban apuntando. Quedarse con los primeros valores singulares conserva la mayor parte de la energía de la matriz, y de ahí salen la compresión de imágenes y la aproximación de rango bajo.

Fórmula

A = U S V^T ; A_k = sum_{i=1}^{k} s_i u_i v_i^T ; s_i = sqrt(autovalor i de A^T A)

Ejemplo resuelto

Una imagen en escala de grises de 100 por 100 píxeles guarda 10 000 números. Si se conservan los 10 primeros valores singulares hacen falta 10 por la suma 100 más 100 más 1, es decir 2010 números, alrededor de una quinta parte del original, y la imagen sigue siendo reconocible porque los primeros valores singulares concentran casi toda la energía.

Errores frecuentes

Confundir los valores singulares con los autovalores de la propia matriz: Los valores singulares son las raíces de los autovalores de A^T A y por tanto nunca son negativos.
Olvidar centrar los datos antes de usar la descomposición como análisis de componentes principales: Sin restar la media, la primera dirección apunta hacia el centro de la nube y no hacia su mayor variación.
Calcular la descomposición completa cuando bastan unos pocos componentes: Para matrices grandes conviene la versión truncada, ya que la completa cuesta del orden de m por n por el menor de los dos.

Ejercicio

Una matriz de 4 por 3 tiene valores singulares 5, 3 y 0. ¿Cuál es su rango?

Ver la solución

El rango coincide con el número de valores singulares distintos de cero, y aquí solo dos de los tres lo son.