Tema

Vectores y producto punto

Matemáticas para IA
Nivel base

El producto punto de dos vectores suma los productos de sus componentes y mide cuánto apunta uno en la dirección del otro.

Nombre en inglés

Vectors and dot product

Intuición

Conviene imaginar la sombra que proyecta un vector sobre otro cuando la luz cae perpendicular a este segundo. Si la sombra cae a favor, el producto es positivo; si cae en contra, negativo; y si los dos vectores forman ángulo recto, la sombra se reduce a un punto y el producto vale cero. Casi todo modelo lineal calcula su predicción como un producto punto entre los pesos y las características.

Fórmula

u . v = sum_{i=1}^{n} u_i v_i = |u| |v| cos(theta)

Ejemplo resuelto

Con u = (3, 4) y v = (1, 2) el producto punto vale 3 por 1 más 4 por 2, es decir 11. La norma de u vale 5 y la de v vale la raíz de 5, aproximadamente 2.236. El coseno del ángulo resulta 11 dividido entre el producto 5 por 2.236, o sea 0.984, de modo que el ángulo ronda los 10 grados y los dos vectores apuntan casi al mismo sitio.

Errores frecuentes

Confundir el producto punto con el producto componente a componente: El primero devuelve un número y el segundo devuelve otro vector, y en NumPy los separa la diferencia entre el operador de matriz y el de multiplicación elemento a elemento.
Dar por hecho que un producto punto grande significa vectores parecidos: La magnitud crece con la longitud de los vectores, motivo por el cual comparar direcciones exige normalizar antes, que es lo que hace la similitud del coseno.
Olvidar que el producto punto solo está definido entre vectores de la misma dimensión, error que en la práctica aparece como un fallo de forma al multiplicar matrices.

Ejercicio

Con u = (2, -1, 3) y v = (0, 4, 1), calcule el producto punto.

Ver la solución

Se multiplican las componentes en el mismo orden y se suman. El primer término vale 0, el segundo vale menos 4 y el tercero vale 3, de manera que la suma es 0 menos 4 más 3.

Respuesta: -1