Distribuciones muestrales y el teorema del límite central

En este capítulo

Comprender el concepto de una distribución muestral

Ver la utilidad del teorema del límite central

Determinar los factores que afectan a la precisión

Al tomar una muestra de datos, es importante darse cuenta de que los resultados varían de una muestra a otra. Los resultados estadísticos basados en muestras deberían incluir una medida de cuánto se espera que varíen. Cuando los medios de comunicación presentan estadísticas como el precio medio de un litro de gasolina o el porcentaje de viviendas vendidas durante el mes pasado, sabes que no incluyeron en su muestra todas las gasolineras del país ni todas las casas que se vendieron. La pregunta es la siguiente: ¿cuánto cambiarían esos resultados si se seleccionara una muestra distinta?

En este capítulo trataré de responder a esa pregunta estudiando el comportamiento de las medias y las proporciones de todas las muestras posibles. Estudiando el comportamiento de todas las muestras posibles puedes saber en qué lugar se encuentran los resultados de tu muestra y comprender qué significa que esos resultados se alejen de ciertas expectativas.

Definir una distribución muestral

Una variable aleatoria es una característica de interés que adopta ciertos valores de una manera aleatoria. Por ejemplo, el número de semáforos en rojo que te encuentras de camino a tu lugar de trabajo o centro de estudios es una variable aleatoria, lo mismo que el número de niños que hay en una familia elegida al azar. Utilizamos letras mayúsculas como X o Y para designar las variables aleatorias, y letras minúsculas como x o y para designar resultados concretos de variables aleatorias. Una distribución es una lista, gráfico o función de todos los resultados posibles de una variable aleatoria (por ejemplo X) y la frecuencia con la que ocurre cada resultado concreto (x) o conjunto de resultados. (En el capítulo 8 encontrarás más información sobre variables aleatorias y distribuciones.)

Por ejemplo, imagina que un millón de amigos tuyos lanzan un dado cada uno y anotan el resultado obtenido (x). Una tabla o un gráfico de todos esos resultados posibles (del uno al seis) y la frecuencia con la que han ocurrido representa la distribución de la variable aleatoria X. La figura 11-1a muestra la distribución de X en este caso. Vemos que los números 1-6 aparecen todos con la misma frecuencia (cada uno ocurre 1 ⁄ 6 de las veces), que es lo que cabe esperar al cabo de muchos lanzamientos si el dado no está trucado.

Ahora supón que cada uno de tus amigos lanza su dado 50 veces (n=50) y anota el promedio,. El gráfico de todos los promedios de todas las muestras representa la distribución de la variable aleatoria. Como esta distribución está basada en medias muestrales, y no en resultados individuales, recibe un nombre especial. Se llama la distribución muestral de la media muestral,. La figura 11-1b muestra la distribución muestral de , el promedio de 50 lanzamientos de un dado.

La figura 11-1b (promedio de 50 lanzamientos) representa el mismo rango de resultados (del 1 al 6) que la figura 11-1a (lanzamientos individuales), pero la figura 11-1b tiene más resultados posibles. La razón es que puedes obtener un promedio de 3,3 o 2,8 o 3,9 puntos para 50 lanzamientos, por ejemplo, mientras que si lanzas un solo dado únicamente te puede salir un número entero del 1 al 6. Además, la forma de los gráficos es diferente: la figura 11-1a muestra una forma plana donde todos los resultados tienen la misma probabilidad, mientras que la figura 11-1b tiene forma de montículo, es decir, los resultados próximos al centro (3,5) ocurren con una frecuencia muy elevada y los resultados próximos a los extremos (1 y 6) ocurren con una frecuencia extremadamente baja. En los siguientes apartados analizaremos con detenimiento las diferencias y similitudes que presentan los elementos y los promedios en cuanto a forma, centro y dispersión, así como los motivos de tales diferencias y similitud. (Consulta antes el capítulo 8 si necesitas ponerte en antecedentes sobre la forma, el centro y la dispersión de variables aleatorias.)

La media de una distribución muestral

Retomando el ejemplo de los dados del apartado anterior, X es una variable aleatoria que indica el resultado que puedes obtener al lanzar un solo dado (suponiendo que ese dado no esté trucado). La media de X (para todos los resultados posibles) se designa como μx (se lee “mu subequis”), y en este caso su valor es 3,5 (como puedes ver en la figura 11-1a).

Si lanzas un dado 50 veces y calculas la media, la variable aleatoria representa cualquier resultado que puedas obtener. La media de , designada como (se lee “mu sub equis barra”) también es 3,5 (puedes ver este resultado en la figura 11-1b).

¡Este resultado no es ninguna coincidencia! En general, la media de la población formada por todas las medias muestrales posibles es igual que la media de la población original (la notación matemática es ). Es un poco enrevesado, pero tiene sentido que el promedio de los promedios de todas las muestras posibles coincida con el promedio de la población de donde vienen las muestras. En el ejemplo de los dados, el promedio de la población formada por todos los promedios de 50 lanzamientos es igual al promedio de la población formada por todos los lanzamientos individuales (3,5).

Utilizando subíndices para μ, puedes especificar de qué media estás hablando: la media de X (todos los elementos de una población) o la media de (todas las medias muestrales de la población).

Medir el error estándar

Los valores de cualquier población se desvían de su media; por ejemplo, las alturas de las personas difieren de la altura media de toda la población. La variabilidad en una población de elementos (X) se mide en desviaciones estándares. (En el capítulo 5 encontrarás más información sobre la desviación estándar.) Las medias muestrales varían porque la muestra no abarca a toda la población, sino tan sólo un subconjunto; y como las muestras varían, las medias también. La variabilidad en la media muestral ( ) se mide con errores estándares.

Aquí la palabra “error” no significa que alguien se haya equivocado. Significa que existe una divergencia entre la población y los resultados de la muestra.

El error estándar de la media muestral se designa como (“sigma subequis barra”). Su fórmula es , en la que σx es la desviación estándar de la población (“sigma sub equis”) y n es el tamaño de cada muestra. En los apartados siguientes veremos el efecto que tiene cada uno de estos dos componentes sobre el error estándar.

Tamaño muestral y error estándar

El primer componente del error estándar es el tamaño de la muestra, n. Como n se encuentra en el denominador de la fórmula para el error estándar, cuando n aumenta el error estándar disminuye. Si lo piensas, tiene sentido que al tener más datos exista menos variación (y más precisión) en los resultados. Pongamos que X es el tiempo que tarda un oficinista en escribir y enviar una carta de recomendación, y supongamos que X tiene una distribución normal con una media de 10,5 minutos y una desviación estándar de 3 minutos. La curva de abajo de la figura 11-2 representa la distribución de X, el tiempo individual de los oficinistas que componen la población. De acuerdo con la regla empírica (explicada en el capítulo 9), la mayoría de los valores se encuentran a no más de 3 desviaciones estándar respecto de la media (10,5), es decir, entre 1,5 y 19,5.

Ahora toma una muestra aleatoria de 10 oficinistas, mide sus tiempos y calcula la media,. Repite este proceso una y otra vez y representa gráficamente todos los resultados posibles para todas las muestras posibles. La curva central de la figura 11-2 representa la distribución muestral de. Observa que igualmente está centrada en 10,5 (cosa que ya esperabas) pero su variabilidad es menor; el error estándar en este

caso es = 0,95 minutos (bastante menos que 3 minutos, que era la desviación estándar del tiempo individual).

En la figura 11-2 puedes ver que el tiempo medio de las muestras de 10 oficinistas están más cerca de la media (10,5) que los tiempos individuales. La razón es que los tiempos medios no varían de una muestra a otra tanto como varían los tiempos individuales de una persona a otra.

Ahora toma todas las muestras aleatorias posibles de 50 oficinistas y calcula sus medias; la distribución muestral está representada por la curva

de arriba de la figura 11-2. El error estándar de se reduce hasta situarse en = 0,42 minutos. Como puedes ver, el tiempo medio de 50 oficinistas está incluso más cerca de 10,5 que el tiempo medio de 10 oficinistas. Según la regla empírica, la mayoría de los valores están entre 10,5–3(0,42)=9,24 y 10,5+3(0,42)=11,76. Otras muestras más grandes proporcionan una precisión aún mayor en torno a la media porque cambian menos incluso de una muestra a otra.

¿Por qué es importante tener una precisión mayor en torno a la media? Pues porque a veces no conoces la media pero quieres averiguar cuál es, o al menos acercarte lo más posible. ¿Cómo puedes hacerlo? Tomando una muestra aleatoria grande de la población y calculando su media. Si la muestra es muy grande, sabes que la media muestral será muy parecida a la media poblacional, tal y como puedes ver en la figura 11-2 (suponiendo que los datos se recopilen correctamente; en el capítulo 16 se explica la forma de recopilar datos válidos).

Desviación estándar de la población y error estándar

El segundo componente del error estándar se refiere a la diversidad existente en la población (medida mediante la desviación estándar). En la

fórmula del error estándar para , se ve que la desviación estándar de la población, σx, se encuentra en el numerador. Esto significa que cuando aumenta la desviación estándar de la población, aumenta también el error estándar de las medias muestrales, lo cual tiene sentido desde el punto de vista matemático; ¿y desde el punto de vista de la estadística?

Imagina que tienes dos estanques llenos de peces (los llamaremos estanque 1 y estanque 2), y estás interesado en la longitud de los peces de cada estanque. Supongamos que las longitudes de los peces de cada estanque tienen una distribución normal (ver el capítulo 9). Te han dicho que las longitudes de los peces del estanque 1 tienen una media de 20 centímetros y una desviación estándar de 2 centímetros (figura 11-3a). Supongamos que los peces del estanque también tienen una media de 20 centímetros pero una desviación estándar más grande, de 5 centímetros (fíjate en la figura 11-3b).

Si comparas las figuras 11-3a y 11-3b, verás que las longitudes para ambas poblaciones de peces tienen la misma forma y la misma media, pero la distribución de la figura 11-3b (para el estanque 2) tiene más dispersión, o variabilidad, que la distribución representada en la figura 11-3a (para el estanque 1). Esta dispersión confirma que los peces del estanque 2 tienen longitudes más variables que los del estanque 1.

Ahora imagina que coges una muestra aleatoria de 100 peces del estanque 1, calculas la longitud media de los peces y repites este proceso una y otra vez. Y luego haces lo mismo con el estanque 2. Como las longitudes de los peces individuales del estanque 2 tienen más variabilidad que las longitudes de los peces individuales del estanque 1, sabes que las longitudes medias de las muestras del estanque 2 también tendrán más variabilidad que las longitudes medias de las muestras del estanque 1 (de hecho, aplicando la fórmula que te he dado anteriormente en este mismo apartado puedes calcular los errores estándares, que son 0,20 y 0,50, respectivamente).

Estimar la media poblacional es más difícil cuando la población varía mucho (resulta mucho más sencillo cuando los valores de la población son más uniformes). Con esto quiero decir que, cuando la desviación estándar de la población es mayor, el error estándar de la media muestral también es mayor.

Examinar la forma de una distribución muestral

Ahora que ya sabes encontrar la media y el error estándar de , el siguiente paso consiste en determinar la forma de la distribución muestral de ; es decir, la forma de la distribución de todas las medias muestrales posibles (todos los valores posibles de ) para todas las muestras posibles. Según las condiciones habrá que proceder de una manera u otra. Hay que distinguir entre dos casos: 1) la distribución original para X (la población) es normal, o tiene una distribución normal; y 2) la distribución original para X (la población) no es normal, o se desconoce.

Caso 1: la distribución de X es normal

Si X tiene una distribución normal, entonces también, con independencia de cuál sea el tamaño muestral n. En el ejemplo sobre el tiempo (X) que tarda un oficinista en realizar una tarea (consulta el apartado “Tamaño muestral y error estándar”), sabías que X tenía una distribución normal (mira la curva de abajo del todo en la figura 11-2). Si te fijas en las otras curvas de la figura 11-2, verás que el tiempo medio para las muestras de n=10 y n=50 oficinistas, respectivamente, también tienen distribución normal.

Cuando X tiene una distribución normal, la medias muestrales también tienen siempre una distribución normal, sin importar qué tamaños muestrales cojas, incluso si eliges muestras de tan sólo 2 oficinistas cada vez.

La diferencia entre las curvas de la figura 11-2 no está en su media ni en sus formas, sino en el grado de variabilidad (lo cerca que están de la media los valores de la distribución). Los resultados basados en medias grandes varían menos y por eso están más concentrados en torno a la media que los resultados procedentes de muestras pequeñas o los resultados de los elementos que componen la población.

Caso 2: la distribución de X no es normal (entra en escena el teorema del límite central)

Si X tiene una distribución que no es normal, o si su distribución se desconoce, no puedes decir automáticamente que la media muestral ( ) tiene una distribución normal. Sin embargo, y esto es increíble, puedes utilizar una distribución normal para hallar una aproximación a la distribución de , siempre y cuando el tamaño muestral sea suficientemente grande. Este resultado enormemente trascendente se debe a lo que los estadísticos han dado en llamar teorema del límite central.

El teorema del límite central (abreviado TLC) dice que si X no tiene una distribución normal (o su distribución se desconoce y, por tanto, no puede afirmarse que es normal), la forma de la distribución muestral de es aproximadamente normal, suponiendo que el tamaño muestral, n, sea suficientemente grande. Es decir, se obtiene una aproximación a la distribución normal para las medias de muestras grandes, incluso si la distribución de los valores originales (X) no es normal.

La mayoría de los estadísticos están de acuerdo en que si n es al menos 30, esta aproximación estará razonablemente cerca de la distribución normal en la mayoría de los casos, aunque diferentes formas de distribución para X requieren diferentes valores de n. Cuanto mayor es el tamaño muestral (n), menos diferencia hay entre la distribución de las medias muestrales y una distribución normal.

La media de un dado no trucado sigue una distribución aproximadamente normal

Volvamos al ejemplo del dado, expuesto anteriormente en el apartado “Definir una distribución muestral”. En la figura 11-1a puedes ver que la distribución de X (la población de resultados basados en millones de lanzamientos individuales) es plana; los resultados individuales de cada lanzamiento van de 1 a 6, y todos ellos son igual de probables.

Si consideramos los promedios, la cosa cambia. Si lanzas un dado un número de veces alto (pongamos una muestra de 50 veces) y miras los resultados, probablemente encuentres la misma cantidad de seises que de unos (observa que la media entre 6 y 1 es 3,5); de cincos que de doses (la media entre 5 y 2 también es 3,5); y de cuatros que de treses (la media también es 3,5; supongo que ya ves por dónde van los tiros). Por tanto, si lanzas un dado 50 veces, tienes una probabilidad elevada de que te salga una media próxima a 3,5. Algunas veces la casualidad hace que las cosas se tuerzan un poco, pero es raro que eso pase con 50 lanzamientos.

Obtener una media muy alta o muy baja con 50 lanzamientos es algo muy inusual. Para obtener una media de 1 con 50 lanzamientos, tiene que salirte un uno en todos los lanzamientos. ¿Qué probabilidad hay de que ocurra tal cosa? (si algún día te pasa, sal corriendo a comprar lotería, porque será el día más afortunado de toda tu vida). Y lo mismo se cumple para una media próxima a 6.

Por consiguiente, la probabilidad de que la media de 50 lanzamientos esté cerca del centro (3,5) es máxima, y la probabilidad de que esté cerca de los extremos (1 o 6) es muy pequeña. Igual que ocurre con las medias entre 1 y 6, las probabilidades disminuyen a medida que te alejas de 3,5, y aumentan a medida que te acercas a 3,5. En particular, como puedes ver en la figura 11-1b, la forma de la distribución muestral de medias muestrales es, aproximadamente, normal siempre y cuando el tamaño muestral sea suficientemente grande. (En el capítulo 9 encontrarás más información sobre la forma de la distribución normal.)

Ten presente que si lanzas el dado un número de veces incluso mayor, la probabilidad de que la media esté cerca de 3,5 aumenta, y la distribución muestral de las medias muestrales se parece cada vez más a una distribución normal.

La media de un dado trucado igualmente sigue una distribución aproximadamente normal

Sin embargo, a veces los valores de X no ocurren con la misma probabilidad que cuando lanzas un dado no trucado. ¿Qué ocurre entonces? Por ejemplo, supongamos que el dado está trucado y el valor medio de muchos lanzamientos individuales resulta ser 2, en lugar de 3,5. Esto significa que la distribución de X está sesgada a la derecha (más valores bajos como 1, 2 y 3, y menos valores altos como 4, 5 y 6). Pero si la distribución de X (millones de lanzamientos individuales de este dado trucado) está sesgada a la derecha; ¿cómo es posible que la distribución de (promedio de 50 lanzamientos de este dado trucado) acabe siendo una distribución aproximadamente normal?

Pongamos que Roberto lanza el dado 50 veces. ¿Cómo será la distribución de los resultados? Es más probable que le salgan resultados bajos (como 1 y 2) y menos probable que le salgan resultados altos (como 5 y 6), de manera que la distribución de los resultados de Roberto también estará sesgada a la derecha.

De hecho, puesto que lanzó el dado muchas veces (50), la distribución de sus resultados individuales tiene una alta probabilidad de coincidir con la distribución de X (los resultados de millones de lanzamientos). Sin embargo, si tan sólo hubiera lanzado el dado unas pocas veces (pongamos 6 veces), es probable que números altos como el 5 y el 6 no le hubieran salido ni una sola vez, con lo que su distribución no se parecería en nada a la distribución de X.

Si miras los resultados de un millón de personas que, igual que Roberto, hayan lanzado este dado trucado 50 veces, todas esas distribuciones serán muy parecidas entre sí y muy parecidas a la distribución de X. Cuantos más lanzamientos haga este millón de personas, más cerca estarán sus distribuciones unas de otras y también de la distribución de X. Y aquí está la clave: si sus distribuciones de resultados tienen una forma similar, con independencia de cuál sea esa forma similar, entonces sus medias también serán similares. Algunas personas obtendrán medias más altas que 2 por casualidad, y otras obtendrán medias más bajas también por casualidad, pero esos tipos de medias se hacen cada vez menos probables cuanto más te alejas de 2. Esto significa que obtienes una distribución aproximadamente normal centrada en 2.

Lo importante de todo esto es que da igual si partes de una distribución sesgada o incluso de una distribución totalmente disparatada para X. Como los tamaños muestrales (número de lanzamientos) eran grandes, las distribuciones de los resultados de las distintas muestras acaban pareciéndose mucho, de manera que sus promedios serán similares, estarán cerca unos de otros y cerca de una distribución normal. En jerga estadística: la distribución de es aproximadamente normal siempre y cuando n sea suficientemente grande. Y todo ello se deriva del teorema del límite central.

Para que el TLC funcione cuando X no tiene una distribución normal, cada persona tiene que lanzar el dado un número de veces suficiente (es decir, n debe ser suficientemente grande) como para que exista una buena probabilidad de que salgan todos los valores posibles de X, especialmente los resultados que ocurren con menos frecuencia. Si n es demasiado pequeño, habrá personas a quienes no les saldrán los resultados que tengan probabilidades más bajas, y entonces sus medias diferirán del resto más de lo que deberían. Como consecuencia, cuando juntes todas las medias, puede que no se concentren en torno a un único valor. En último término, puede que no aparezca la distribución aproximadamente normal.

Tres aclaraciones sobre el TLC

Para evitarte posibles confusiones, quiero puntualizar tres cosas sobre el teorema del límite central:

El TLC únicamente es necesario cuando la distribución de X no es una distribución normal o bien se desconoce. Así pues, no es
necesario cuando X comienza con una distribución normal.

Las fórmulas para la media y el error estándar de no son producto del TLC. Simplemente son resultados matemáticos que siempre se
cumplen. Encontrarás estas fórmulas en los apartados “La media de una distribución muestral” y “Medir el error estándar”, en este
mismo capítulo.

La n mencionada en el TLC se refiere al tamaño de la muestra que tomas cada vez, no al número de muestras que tomas. Si Roberto
lanza el dado 50 veces, tienes una muestra de tamaño 50, de manera que n=50. Si diez personas hacen eso mismo, tienes 10 muestras,
cada una de ellas con un tamaño de 50, de manera que n continúa siendo 50.

Encontrar probabilidades para la media muestral

Una vez que has confirmado, mediante las condiciones establecidas para el caso 1 o el caso 2 (si no los recuerdas puedes volver a leer los apartados anteriores), que tiene una distribución normal o aproximadamente normal, estás de enhorabuena. La distribución normal es una distribución muy sencilla que tiene una tabla para encontrar probabilidades y cualquier otra cosa que desees. Por ejemplo, puedes encontrar probabilidades para convirtiendo el valor en un valor z y buscando probabilidades en la tabla Z (incluida en el apéndice). (En el capítulo 9 encontrarás más información sobre la distribución normal y la distribución Z.)

La fórmula general para convertir de valores a valores z es:

Si sustituyes los valores apropiados de la media y el error estándar de ,

la fórmula de conversión pasa a ser la siguiente:

No te olvides de dividir por la raíz cuadrada de n en el denominador de z. Tienes que dividir siempre por la raíz cuadrada de n cuando la pregunta se refiere al promedio de los valores x.

Volviendo al ejemplo de los oficinistas del apartado anterior “Tamaño muestral y error estándar”, imagina que X es el tiempo que un oficinista elegido al azar tarda en escribir y mandar una carta de recomendación estándar. Imagina que X tiene una distribución normal y que la media es 10,5 minutos y la desviación estándar es 3 minutos. Coges una muestra aleatoria de 50 oficinistas y mides el tiempo que tarda cada uno. ¿Cuál es la probabilidad de que su tiempo medio sea inferior a 9,5 minutos?

Para responder la pregunta tienes que encontrar P( <9,5). Para empezar, como X tiene una distribución normal, sabes que también tiene una distribución exactamente normal (no aproximadamente normal). Si conviertes a z, resulta:

Por tanto quieres hallar P(Z<–2,36), que es igual a 0,0091 (según la tabla Z incluida en el apéndice). Así pues, la probabilidad de que una muestra aleatoria de 50 oficinistas tarde menos de 9,5 minutos, en promedio, en realizar esa tarea es del 0,91% (muy pequeña).

¿Cómo encuentras probabilidades para si X no es normal o bien se desconoce? Según el TLC, la distribución de X puede ser no normal o incluso desconocida, y mientras n sea suficientemente grande podrás encontrar probabilidades aproximadas para utilizando la distribución normal estándar (distribución Z) y el proceso anteriormente descrito. Es decir, convertir a un valor z y encontrar probabilidades aproximadas utilizando la tabla Z (incluida en el apéndice).

Cuando utilices el TLC para encontrar una probabilidad para (es decir, cuando la distribución de X no sea normal o sea desconocida), asegúrate de mencionar que tu respuesta es una aproximación. También conviene mencionar que la respuesta aproximada es en realidad bastante exacta porque tienes una n suficientemente grande como para aplicar el TLC (si n no es suficientemente grande para el TLC, puedes utilizar la distribución t en muchos casos; está explicada en el capítulo 10).

Más allá de los cálculos, las probabilidades sobre pueden ayudarte a decidir si una suposición o una afirmación referida a una media poblacional es correcta, según los datos que tienes. En el ejemplo de los oficinistas, partimos de que el tiempo medio que tardaban todos ellos en escribir una carta de recomendación era de 10,5 minutos. Sin embargo, tu muestra arrojaba una media de 9,5 minutos. Como viste que la probabilidad de que los oficinistas dieran un promedio inferior a 9,5 minutos era muy pequeña (0,0091), pudo ocurrir que al seleccionar tu muestra dieras por casualidad con un número inusualmente elevado de oficinistas muy diligentes, o puede que la suposición de que el tiempo medio de todos los oficinistas era 10,5 minutos sencillamente fuera demasiado alta (yo apuesto por esta segunda posibilidad). El proceso de verificar suposiciones o afirmaciones referidas a una población se denomina contraste de hipótesis. Encontrarás más información al respecto en el capítulo 14.

La distribución muestral de la proporción muestral

El teorema del límite central (TLC) no se aplica exclusivamente a medias muestrales para datos numéricos. También puede utilizarse con otros estadísticos, incluidas proporciones muestrales para datos categóricos (ver el capítulo 6). La proporción poblacional, p, es la proporción de elementos de la población que poseen una determinada característica de interés (por ejemplo, la proporción de ciudadanos que son votantes

censados, o la proporción de adolescentes que tienen teléfono móvil). La proporción muestral, designada como (se lee “pe sombrero”), es la proporción de elementos de la muestra que poseen esa característica en particular; o dicho de otro modo, el número de elementos de la muestra que tienen esa característica de interés dividido por el tamaño total de la muestra (n).

Por ejemplo, si seleccionas una muestra de 100 adolescentes y compruebas que 60 de ellos tienen teléfono móvil, la proporción muestral de

adolescentes con móvil es = 0,6. Este apartado habla sobre la distribución muestral de todas las proporciones muestrales posibles, , a partir de muestras de tamaño n extraídas de una población.

La distribución muestral de tiene las siguientes propiedades:

Su media, designada como (se lee “mu subpe sombrero”), es igual a la proporción poblacional, p.

Su error estándar, designado como (se lee “sigma subpe sombrero”), es igual a:

(Observa que, como n está en el denominador, cuando n aumenta, el error estándar disminuye.)

Debido al TLC, su forma es aproximadamente normal, suponiendo que el tamaño de la muestra sea suficientemente grande. Por tanto,
puedes utilizar la distribución normal para encontrar probabilidades aproximadas para.

Cuanto mayor es el tamaño muestral (n), menos diferencia hay entre la distribución de la proporción muestral y una distribución
normal.

Cuando estás interesado en el número (y no en la proporción) de elementos de tu muestra que poseen una determinada característica, utilizas la distribución binomial para encontrar probabilidades para tus resultados (si lo necesitas vuelve al capítulo 8).

¿A partir de qué momento se puede considerar que el TLC funciona para proporciones muestrales? La mayoría de los estadísticos están de acuerdo en que tanto np como n (1–p) deben ser mayores o iguales que 10. Es decir, el número medio de éxitos (np) y el número medio de fracasos n (1–p) deben ser al menos 10.

Para entender mejor la distribución muestral de la proporción muestral, tomemos como ejemplo la encuesta que se entrega todos los años junto con las pruebas ACT (la selectividad estadounidense) para saber si el alumno quiere recibir ayuda en matemáticas. Supongamos (por investigaciones anteriores) que el 38% de todos los alumnos que hacen la prueba ACT responden que sí. Eso significa que p, la proporción poblacional, es igual a 0,38 en este caso. La distribución de respuestas (sí, no) para esta población aparece representada en la figura 11-4 en forma de gráfico de barras. (En el capítulo 6 encontrarás más información sobre los gráficos de barras).

Como el 38% se aplica a todos los alumnos que hacen el examen, para designar la proporción poblacional utilizo la notación p (en lugar de , que designa proporciones muestrales). Generalmente p es desconocida, pero aquí le asigno un valor para señalar cómo se comportan las proporciones muestrales en relación con la proporción poblacional.

Ahora tomemos todas las muestras posibles de n=1.000 alumnos de esta población y encontremos la proporción de alumnos de cada muestra que dijeron necesitar ayuda en matemáticas. La distribución de estas proporciones muestrales se representa en la figura 11-5. Tiene una distribución aproximadamente normal con una media p=0,38 y un error estándar igual a:

(aproximadamente el 1,5 %).

La distribución aproximadamente normal funciona porque se cumplen las dos condiciones del TLC: 1) np=1.000 (0,38)=380 (≥ 10); y 2) n (1–p)=1.000 (0,62)=620 (también ≥ 10). Y como n es muy grande (1.000), la aproximación es excelente.

Encontrar probabilidades para la proporción muestral

Puedes encontrar probabilidades para , la proporción muestral, utilizando la aproximación normal siempre y cuando se cumplan las condiciones (descritas en el apartado anterior). En el ejemplo de las pruebas ACT, suponemos que el 38% de todos los alumnos que se examinan quieren recibir ayuda en matemáticas. Ahora imagina que coges una muestra aleatoria de 100 alumnos. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 45 de esos alumnos digan que necesitan ayuda en matemáticas? Expresado como proporción del total, eso es equivalente a la probabilidad de

que más de 45/100=0,45 de ellos digan que necesitan ayuda; es decir P ( > 0,45).

Para contestar esta pregunta, primero comprobamos las condiciones. En primer lugar, ¿np es mayor o igual que 10? Sí, porque 100×0,38=38. En segundo lugar, ¿n (1–p) es mayor o igual que 10? Otra vez sí, porque 100×(1–0,38)=62. Por tanto, puedes utilizar la aproximación normal.

Puedes convertir el valor a un valor z utilizando la siguiente ecuación general:

Si utilizamos los números de este ejemplo, resulta:

A continuación, utilizando la tabla A-1, que está en el apéndice, se ve que P(Z>1,44)=1–0,9251=0,0749. Por consiguiente, si es cierto que el 38% de los alumnos que hacen la prueba ACT necesitan ayuda en matemáticas, la probabilidad de coger una muestra aleatoria de 100 alumnos y encontrar más de 45 que necesiten ayuda en matemáticas es aproximadamente 0,0749 (en virtud del TLC).

Tal y como he mencionado en el apartado anterior sobre medias muestrales, puedes utilizar proporciones muestrales para verificar una afirmación sobre una proporción poblacional (este procedimiento es un contraste de hipótesis para una proporción poblacional; encontrarás información detallada en el capítulo 15). Volviendo al ejemplo de las pruebas ACT, la probabilidad de que más del 45% de los alumnos de una muestra de 100 necesiten ayuda en matemáticas (dando por sentado que el 38% de la población necesita ayuda en matemáticas) es 0,0749. Como esta probabilidad es mayor que 0,05 (el punto de corte típico para rechazar una afirmación referida a un valor poblacional), no puedes poner en duda que el porcentaje de la población que necesita ayuda en matemáticas es del 38%. Nuestro resultado muestral no llega a ser suficientemente poco común. (En el capítulo 15 encontrarás más información sobre contrastes de hipótesis para una proporción poblacional.)

En esta parte…

Cuando te dan un estadístico aislado, no están contándote toda la película. Te falta saber la parte más importante: cuánto puede variar ese estadístico. Toda buena estimación de un parámetro poblacional incluye, además del estadístico, un margen de error. Esta combinación de un estadístico más/menos un margen de error se llama intervalo de confianza.

Ahora imagina que te dan una afirmación, suposición o valor objetivo para el parámetro poblacional y tú quieres verificar esa afirmación. Lo haces mediante un contraste de hipótesis basado en estadísticos muestrales. Como los estadísticos muestrales están sujetos a variación, necesitas técnicas que tengan eso en cuenta.

En esta parte encontrarás una explicación general e intuitiva del margen de error, los intervalos de confianza y los contrastes de hipótesis; su función, fórmulas, cálculos, factores influyentes e interpretación. Asimismo, podrás ver algunas referencias rápidas y ejemplos para los intervalos de confianza y los contrastes de hipótesis más utilizados.