Buscar vínculos: correlación y regresión

En este capítulo

Explorar las relaciones estadísticas entre variables numéricas

Estudiar la correlación y la regresión lineal

Realizar predicciones basadas en relaciones conocidas

Comprender la diferencia entre correlación y causalidad

Los medios de comunicación nos informan puntualmente sobre todas las relaciones observadas por los investigadores. Hoy mismo he oído que el uso frecuente de videojuegos puede afectar negativamente a la capacidad de concentración de los niños, que la cantidad de cierta hormona en el organismo femenino puede predecir el momento de aparición de la menopausia, y que cuanto más deprimido estás, más chocolate comes, y cuanto más chocolate comes, más te deprimes (¡qué deprimente!).

Algunos estudios son legítimos y ayudan a mejorar nuestra calidad de vida y nuestra longevidad. Otros, en cambio, no son nada fiables. Por ejemplo, un estudio dice que hacer veinte minutos de ejercicio físico tres veces por semana es mejor que sesenta minutos una vez por semana, otro estudio dice lo contrario, y un tercer estudio dice que no existe diferencia.

Si todos estos resultados contradictorios te tienen confundido, no te preocupes. En este capítulo aprenderás a analizar y evaluar las afirmaciones de los investigadores y a tomar tus propias decisiones sobre los titulares y las noticias que te presentan correlaciones a diario. Descubrirás qué significa realmente que dos variables estén correlacionadas, cuándo puede concluirse que existe una relación de causa y efecto, y cuándo y cómo predecir una variable a partir de otra.

Representar una relación con un diagrama de dispersión

El otro día me llamó la atención un artículo de la revista Garden Gate: “Cómo saber la temperatura contando los chirridos de un grillo”. Según el artículo, sólo tienes que encontrar un grillo, contar el número de veces que chirría en 15 segundos, sumar 40 y ya tienes una estimación de la temperatura en grados Fahrenheit. Si quieres convertir los grados Fahrenheit a centígrados, utiliza esta sencilla fórmula: (Temp. en °F 32) x 5/9.

El Servicio Estadounidense de Meteorología tiene incluso un “convertidor de chirridos” en su sitio web. Introduces el número de chirridos en 15 segundos y el convertidor te da la temperatura estimada en cuatro unidades diferentes, incluidos grados Fahrenheit y grados centígrados.

Se han hecho varios estudios que confirman esta relación entre la frecuencia de los chirridos y la temperatura. A modo de ejemplo, he tomado tan sólo un subconjunto de los datos disponibles (mira la tabla 181).

Cada observación consta de dos variables que están relacionadas: el número de veces que el grillo chirría en 15 segundos (la variable X) y la temperatura en el momento de recopilarse los datos (la variable Y). En estadística, este tipo de datos bidimensionales se denominan datos bivariables. Cada observación contiene una pareja de datos recopilados de forma simultánea. Por ejemplo, la fila uno de la tabla 181 muestra una pareja de datos (18, 57).

Los datos bivariables generalmente se organizan en un gráfico que los estadísticos llaman diagrama de dispersión. Un diagrama de dispersión tiene dos dimensiones, una dimensión horizontal (el eje X) y una dimensión vertical (el eje Y). Ambos ejes son numéricos: cada uno contiene una línea numerada. En los siguientes apartados explico la forma de elaborar e interpretar un diagrama de dispersión.

Elaborar un diagrama de dispersión

Ubicar observaciones (o puntos) en un diagrama de dispersión es parecido al juego de hundir la flota. Cada observación tiene dos coordenadas; la primera corresponde al primer dato de la pareja (la coordenada X; cuánto te desplazas a la izquierda o a la derecha). La segunda coordenada corresponde al segundo dato de la pareja (la coordenada Y; cuánto te desplazas hacia arriba o hacia abajo). El punto que representa a esa observación se ubica en la intersección de las dos coordenadas.

La figura 181 muestra un diagrama de dispersión para los datos sobre chirridos y temperaturas incluidos en la tabla 181. Como he ordenado los datos en función de sus valores X, los puntos del diagrama se corresponden, de izquierda a derecha, con las observaciones que aparecen en la tabla 181, en ese mismo orden.

Interpretar un diagrama de dispersión

Para interpretar un diagrama de dispersión hay que buscar tendencias en los datos de izquierda a derecha:

Si los datos muestran una tendencia ascendente de izquierda a derecha, significa que existe una relación positiva entre X e Y. A media
que los valores X aumentan (se desplazan a la derecha), los valores Y también aumentan (se desplazan hacia arriba) en cierta medida.

Si los datos muestran una tendencia descendente de izquierda a derecha, significa que existe una relación negativa entre X e Y. A media
que los valores X aumentan (se desplazan a la derecha), los valores Y disminuyen (se desplazan hacia abajo) en cierta medida.

Si los datos no parecen revelar ninguna tendencia (por vaga que sea), entonces no existe ninguna relación entre X e Y.

Una tendencia de particular interés es la tendencia lineal, cuando los datos parecen dibujar una línea ascendente o descendente. En la figura 181 se aprecia una relación lineal positiva entre el número de chirridos y la temperatura. Es decir, si el número de chirridos aumenta, la temperatura también aumenta.

En este capítulo me refiero exclusivamente a las relaciones lineales. Se dice que existe una relación lineal entre X e Y cuanto los valores X y los valores Y parecen dibujar una línea, ya sea ascendente (con pendiente positiva) o descendente (con pendiente negativa). Además de las tendencias lineales ascendentes/descendentes, hay otros tipos de tendencias (por ejemplo curvas o funciones exponenciales); sin embargo, escapan al alcance de este libro. Lo bueno es que el caso de las líneas ascendentes/ descendentes incluye muchos tipos de relaciones.

Los diagramas de dispersión muestran posibles asociaciones o relaciones entre dos variables. No obstante, el hecho de que un gráfico o diagrama revele que algo está pasando no significa que exista una relación de causa y efecto.

Por ejemplo, un médico observa que las personas que toman vitamina C todos los días parecen resfriarse menos. ¿Significa esto que la vitamina C previene los resfriados? No necesariamente. Puede que las personas que se preocupan más por su salud tomen vitamina C a diario, pero también cuidan la alimentación, no tienen sobrepeso, hacen ejercicio todos los días y se lavan las manos más a menudo. Si el médico quiere

saber si la causa es la vitamina C, tendrá que realizar un experimento bien diseñado que descarte esos otros factores. (Encontrarás más información al respecto en el apartado “Explicar la relación: correlación frente a causa y efecto”, más adelante.)

Cuantificar relaciones lineales por medio de la correlación

Cuando tienes los datos bivariables representados gráficamente en un diagrama de dispersión (relee el apartado anterior), si observas algún tipo de tendencia lineal, el siguiente paso es obtener algunas estadísticas que cuantifiquen o midan el alcance y la naturaleza de la relación. En los siguientes apartados hablo de la correlación, un estadístico que mide la fuerza y la dirección de una relación lineal entre dos variables. En particular, explico la forma de calcular e interpretar la correlación y cuáles son sus propiedades más importantes.

Calcular la correlación

En el apartado anterior, “Interpretar un diagrama de dispersión”, decía que los datos que se parecen a una línea ascendente presentan una relación lineal positiva, y los que se parecen a una línea descendente presentan una relación lineal negativa. Sin embargo, no explicaba cuándo la relación lineal era fuerte o débil. La fuerza de una relación lineal depende de cuánto se parezcan los datos a una línea, y, naturalmente, existen varios niveles de similitud.

¿Puede un solo estadístico medir la fuerza y la dirección de una relación lineal entre dos variables? La respuesta es sí. Los estadísticos utilizan el coeficiente de correlación para medir la fuerza y la dirección de la relación lineal entre dos variables numéricas X e Y. El coeficiente de correlación para una muestra de datos se designa con la letra r.

Aunque la definición común de correlación se aplica a dos elementos cualesquiera que estén relacionados (por ejemplo, el sexo y la filiación política), los estadísticos utilizan este término exclusivamente para expresar la relación entre dos variables numéricas. El término formal para indicar la intensidad de esa relación es coeficiente de correlación. Se han creado muchas medidas de correlación diferentes; la utilizada en este caso se llama coeficiente de correlación de Pearson (pero en adelante me referiré a él simplemente como correlación).

La fórmula para la correlación (r) es

en la que n es el número de parejas de datos; y son las medias muestrales de todos los valores x y todos los valores y, respectivamente; y sx y sy son las desviaciones estándares de todos los valores x y de todos los valores y, respectivamente.

Para calcular la correlación, r, a partir de un conjunto de datos, sigue los pasos siguientes:

1. Encuentra la media de todos los valores x ( ) y la media de todos los valores y ( ).

En el capítulo 5 encontrarás más información sobre cómo calcular la media.

2. Encuentra la desviación estándar de todos los valores x (llámala sx) y la desviación estándar de todos los valores y (llámala sy).

En el capítulo 5 explico la forma de calcular la desviación estándar.

3. Para cada pareja (x, y) del conjunto de datos, calcula x menos e y menos y luego multiplica ambos números, para obtener (x – ) ( y – ).
4. Suma todos los resultados del paso 3.
5. Divide el resultado de la suma entre sx × sy.
6. Divide ese resultado entre n–1, donde n es el número de parejas (x, y) (es lo mismo que multiplicar por 1 partido por n–1).

El resultado es la correlación, r.

Por ejemplo, supongamos que tienes el conjunto de datos (3, 2), (3, 3) y (6, 4). El coeficiente de correlación r se calcula de la manera siguiente (ten en cuenta que, para estos datos, los valores x son 3, 3, 6, y los valores y son 2, 3, 4):

1. es 12 / 3 = 4, y es 9 / 3 = 3.
2. Las desviaciones estándares son sx = 1,73 y sy = 1,00.

Los cálculos se explican paso a paso en el capítulo 5.

3. Si multiplicas las diferencias calculadas en el paso 3, tienes: ( 3 – 4 ) ( 2 – 3 ) = (– 1 ) ( – 1 ) = +1; ( 3 – 4 ) ( 3 – 3 ) = (– 1 ) ( 0 ) = 0; ( 6 – 4 ) ( 4
   • 3. = (2) (1) = + 2.
4. Si sumas los resultados del paso 3, resulta 1 + 0 + 2 = 3.
5. Al dividir entre sx × sy, resulta 3 / (1,73 × 1) = 3 / 1,73 = 1,73.
6. Ahora divide el resultado del paso 5 entre 3 – 1 (que es 2), y obtienes la correlación r = 0,87.

Interpretar la correlación

La correlación r siempre está comprendida entre +1 y –1. Para interpretar varios valores de r (aquí no existen regla fijas, tan sólo la regla práctica de Rumsey), tienes que ver cuál de los siguientes valores es el más próximo a tu correlación:

Exactamente –1. Una relación lineal descendente (negativa) perfecta.

–0,70. Una relación lineal descendente (negativa) fuerte.

–0,50. Una relación lineal descendente (negativa) moderada.

–0,30. Una relación lineal descendente (negativa) débil.

0. No existe relación lineal.

+0,30. Una relación lineal ascendente (positiva) débil.

+0,50. Una relación lineal ascendente (positiva) moderada.

+0,70. Una relación lineal ascendente (positiva) fuerte.

Exactamente +1. Una relación lineal ascendente (positiva) perfecta.

Si el diagrama de dispersión no indica la existencia de una relación lineal, por débil que sea, la correlación no tiene apenas significado. ¿Por qué medir la fuerza de la relación lineal si de entrada esa relación es casi inexistente? No obstante, la no existencia de una relación lineal puede verse de dos maneras: 1) si no existe ninguna relación en absoluto, calcular la correlación no tiene sentido porque la correlación únicamente se aplica a las relaciones lineales; y 2) si existe una relación fuerte pero no es lineal, la correlación puede inducir a error, ya que en algunos casos existe una relación curva fuerte y la correlación también es fuerte. Por eso es imprescindible examinar primero el diagrama de dispersión.

La figura 182 muestra los diagramas de dispersión correspondientes a varias correlaciones, para que puedas ver la fuerza y la dirección de la relación. La figura 182a muestra una correlación de +1, la figura 182b muestra una correlación de –0,50, la figura 182c muestra una correlación de +0,85, y la figura 182d muestra una correlación de +0,15. Si te fijas en las figuras 182a y c, verás que la figura 182a es una línea recta ascendente perfecta, y la figura 182c muestra una tendencia lineal ascendente muy fuerte. La figura 182b es descendente, pero los puntos están dispersos en una franja más ancha, lo cual indica la existencia de una relación lineal, pero no tan fuerte como en las figuras 182a y 182c. En la figura 182d no se aprecia apenas nada (es lógico, puesto que su correlación está muy próxima a 0).

Mucha gente comete el error de creer que una correlación de –1 es algo malo, pues indica la ausencia de relación. En realidad es justo al revés. Una correlación de –1 significa que los datos forman una línea recta perfecta, la relación lineal más fuerte que puede existir. El signo “–” (menos) simplemente indica que la relación es negativa, una línea descendente.

¿Cuándo se considera que el valor está lo suficientemente cerca de –1 o de +1 como para indicar una relación lineal suficientemente fuerte? La mayoría de los estadísticos no se emocionan demasiado hasta ver una correlación de al menos +0,5 o –0,5. De todos modos, no esperes que una correlación llegue siempre a 0,99. Recuerda que manejas datos reales, y los datos reales no son perfectos.

Para mi subconjunto de datos sobre chirridos de grillo y temperaturas, en el apartado anterior “Representar una relación con un diagrama de dispersión”, calculé una correlación de 0,98, que casi nunca se da en el mundo real (¡bien por los grillos!).

Examinar las propiedades de la correlación

El coeficiente de correlación tiene varias propiedades importantes:

La correlación siempre está comprendida entre –1 y +1, como te he explicado en el apartado anterior.

La correlación es una medida adimensional, lo cual significa que si cambias las unidades de X o de Y, la correlación no varía. Por
ejemplo, cambiar la temperatura de grados Fahrenheit a grados centígrados no afecta a la correlación existente entre la frecuencia de
los chirridos (X) y la temperatura exterior (Y).

Las variables X e Y pueden intercambiarse en el conjunto de datos sin que la correlación varíe. Por ejemplo, si la altura y el peso tienen
una correlación de 0,53, el peso y la altura tienen la misma correlación.

Trabajar con la regresión lineal

En el caso de dos variables numéricas X e Y, cuando se ha establecido una correlación al menos moderada a través de la propia correlación y el diagrama de dispersión, sabes que dichas variables presentan algún tipo de relación lineal. Los investigadores se sirven a menudo de esa relación para predecir el valor (medio) de Y a partir de un valor X conocido, utilizando una línea recta. Esta línea se llama recta de regresión. Si conoces la pendiente y el punto de intersección con el eje y (ordenada en el origen) de esa recta de regresión, entonces puedes introducir un valor de X y obtienes el valor medio de Y. Dicho de otro modo, predices el valor (medio) de Y a partir del valor de X. En los siguientes apartados ofrezco unas nociones básicas sobre la ecuación de regresión lineal (más adelante en este mismo capítulo explico cómo realizar predicciones con la regresión lineal).

No hagas un análisis de regresión a menos que previamente hayas encontrado una correlación al menos moderada entre las dos variables (como norma general, yo siempre establezco que esta correlación debe ser de al menos +0,50 o –0,50, pero otros estadísticos pueden aplicar criterios diferentes). ¡He visto casos en que los investigadores hacen predicciones con una correlación de tan sólo 0,20! Lo mires como lo mires, eso es una barbaridad. Si la nube de datos ya ni siquiera se parece a una línea, no puedes utilizar una línea para hacerlos encajar y realizar predicciones (y aun así, hay que gente que lo intenta).

Determinar qué variable es X y cuál es Y

Antes de pasar a la ecuación para la recta de regresión, tienes que identificar cuál de las dos variables es X y cuál es Y. Cuando analizas correlaciones (como explico anteriormente en este capítulo), no importa a qué variable llames X y a cuál llames Y, siempre y cuando mantengas la coherencia para todos los datos. Sin embargo, cuando tratas de encajar líneas y hacer predicciones, la elección de X y de Y sí que importa.

Entonces, ¿cómo determinas cuál es cuál? En general, Y es la variable que quieres predecir, y X es la variable que utilizas para realizar esa predicción. En el ejemplo anterior de los grillos, utilizas el número de chirridos para predecir la temperatura. Por tanto, en este caso la variable Y es la temperatura, y la variable X es el número de chirridos. Como consecuencia, es posible predecir Y a partir de X utilizando la ecuación de una recta siempre y cuando exista una relación lineal suficientemente fuerte.

En estadística, la variable X (los chirridos, en mi ejemplo anterior) se llama la variable explicativa, porque si X cambia, la pendiente indica (o explica) cuánto se espera que cambie Y en consecuencia. Así pues, siguiendo esta misma lógica, la variable Y se llama la variable explicada. Otros nombres para X e Y son la variable independiente y la variable dependiente, respectivamente.

Comprobar las condiciones

En el caso de dos variables numéricas, puedes encontrar una línea que te permita predecir Y a partir de X, siempre y cuando se cumplan las dos condiciones siguientes (extraídas de los apartados anteriores):

El diagrama de dispersión presenta una tendencia lineal.

La correlación, r, es entre moderada y fuerte (por regla general, superior a 0,50 o –0,50).

Algunos investigadores no comprueban estas condiciones antes de hacer predicciones. Sin embargo, dichas predicciones no serán válidas a menos que las dos condiciones se cumplan.

Pero supongamos que la correlación es fuerte: ¿igualmente hay que fijarse en el diagrama de dispersión? Sí. Hay situaciones en que los datos presentan una forma curvada y la correlación continúa siendo fuerte. En esos casos tampoco es válido hacer predicciones utilizando una línea recta. Las predicciones deben realizarse a partir de una curva. (Este tema escapa al alcance de este libro; si estás interesado, te recomiendo Statistics II for Dummies, donde hablo de las relaciones no lineales.)

Calcular la recta de regresión

El diagrama de dispersión de la figura 181 revela una clara tendencia lineal. Como vimos anteriormente en este mismo capítulo, la correlación entre chirridos y temperatura es muy fuerte (r=0,98). Sabiendo esto, ahora puedes encontrar la línea recta que mejor se ajusta a los datos (la que se encuentra a menos distancia del conjunto de puntos en general). En estadística, esta técnica de encontrar la recta que mejor se ajusta se denomina análisis de regresión lineal simple utilizando el método de los mínimos cuadrados.

La fórmula para la recta de mejor ajuste (o recta de regresión) es y=mx+b, en la que m es la pendiente de la recta y b es el punto de intersección con el eje y (ordenada en el origen). Aunque esta ecuación es la misma que se utiliza en álgebra para encontrar una línea recta, debes tener presente que en estadística los puntos no dibujan una línea perfecta; la línea es un modelo alrededor del cual están situados los datos cuando existe una tendencia lineal fuerte.

La pendiente de una línea recta es el cociente entre la variación de Y y la variación de X. Por ejemplo, una pendiente de 10 ⁄ 3 significa
que si el valor x aumenta (se desplaza hacia la derecha) 3 unidades, el valor y se desplaza hacia arriba 10 unidades en promedio.

La intersección con el eje y, también llamada ordenada en el origen, es el punto del eje y donde el valor de x es cero. Por ejemplo, en la
ecuación 2x–6, la línea corta el eje y en el punto –6. Las coordenadas de este punto son (0, – 6 ). Por tanto, cuando un línea corta el eje y,
el valor x siempre es 0.

Para encontrar la recta de mejor ajuste, tienes que encontrar los valores de m y b que mejor se ajusten a la tendencia de los datos, de acuerdo con tus criterios. Existen diferentes criterios que pueden conducir a otras rectas, pero en este libro (y en todos los cursos de introducción a la estadística, en general) utilizo el criterio de encontrar la recta que reduzca al mínimo lo que en estadística se llama la suma de cuadrados residual (SCR). La SCR es la suma de los cuadrados de todas las diferencias entre los puntos de la recta propuesta y los puntos reales del conjunto de datos. La recta que tenga la SCR más baja posible es la vencedora, y su ecuación se utiliza como recta de mejor ajuste. Este proceso es el que da nombre al método de mínimos cuadrados.

A lo mejor estás pensando que hace falta probar montones de rectas diferentes para ver cuál se ajusta mejor. Por suerte existe una solución más sencilla (aunque es cierto que visualizar una línea recta en el diagrama de dispersión ayuda a pensar en cuál debería ser la respuesta). La recta de mejor ajuste tiene una pendiente y una ordenada en el origen concretas que pueden calcularse mediante fórmulas (los cálculos no son demasiado difíciles).

Para ahorrar tiempo calculando la recta de mejor ajuste, encuentra primero los cinco estadísticos que necesitarás para tus cálculos:

1. La media de los valores x (designada como ).
2. La media de los valores y (designada como ).
3. La desviación estándar de los valores x (designada como sx).
4. La desviación estándar de los valores y (designada como sy).
5. La correlación entre X e Y (designada como r).

Encontrar la pendiente

La fórmula para la pendiente, m, de la recta de mejor ajuste es

en la que r es la correlación entre X e Y, y sx y sy son las desviaciones estándares de los valores x y de los valores y, respectivamente. Sólo hay que dividir sy entre sx y multiplicar el resultado por r.

Ten en cuenta que la pendiente de la recta de mejor ajuste puede ser un número negativo, ya que la correlación puede ser un número negativo. Una pendiente negativa indica que la recta es descendente. Por ejemplo, existe una relación lineal entre el incremento de agentes de policía y la disminución del número de delitos; en este caso la correlación y, por tanto, la pendiente de la recta de mejor ajuste son negativas.

La correlación y la pendiente de la recta de mejor ajuste son cosas distintas. La fórmula para la pendiente coge la correlación (una medida adimensional) y le asigna unidades. Para entenderlo mejor, considera que sy/sx es la variación de Y partido por la variación de X, en unidades de X y de Y. Por ejemplo, la variación de la temperatura (en grados centígrados) partido por la variación del número de chirridos (en 15 segundos).

Encontrar la ordenada en el origen

La fórmula para la ordenada en el origen, b, de la recta de mejor ajuste es b = - m , donde y son las medias de los valores x y de los valores y, respectivamente, y m es la pendiente (cuya fórmula encontrarás en el apartado anterior).

Así pues, para calcular la ordenada en el origen, b, de la recta de mejor ajuste hay que empezar por encontrar la pendiente, m, de la recta de mejor ajuste siguiendo los pasos indicados en el apartado anterior. Luego hay que multiplicar m por y restar el resultado de.

Calcula siempre la pendiente antes que la ordenada en el origen. ¡La fórmula para la ordenada en el origen contiene la pendiente!

Interpretar la recta de regresión

Más importante aún que saber calcular la pendiente y la ordenada en el origen para formar la recta de regresión, es saber interpretar sus valores. En los siguientes apartados me refiero a esta cuestión.

Interpretar la pendiente

Algebraicamente, la pendiente entre dos puntos se interpreta como la distancia vertical dividida por la distancia horizontal. Si, por ejemplo, la pendiente es 2, puedes expresarlo como 2/1 y decir que, al moverte de un punto a otro de la línea, cuando el valor de la variable X aumenta una unidad, el valor de la variable Y aumenta dos unidades. En el contexto de una regresión, la pendiente es la parte fundamental de la ecuación porque te dice cuánto cabe esperar que varíe Y al aumentar X.

En general, la pendiente se mide en unidades de la variable Y por unidades de la variable X. Se trata de la proporción entre la variación de Y y la variación de X. Supongamos que un investigador está estudiando el efecto que tienen diferentes dosis en miligramos (mg) de un fármaco sobre la tensión arterial sistólica (se mide en milímetros de mercurio [mmHg]), y observa que la pendiente de la recta de regresión es –2,5. Podemos expresarlo como [–2,5 ⁄ 1], y decir que la tensión arterial sistólica previsiblemente disminuirá 2,5 milímetros de mercurio en promedio por cada miligramo que se incremente la dosis administrada del fármaco.

Cuando interpretes la pendiente, asegúrate de utilizar siempre las unidades adecuadas. Si no tienes en cuenta las unidades, no verás la conexión existente entre las dos variables en cuestión. Por ejemplo, si Y es la nota de examen y X es el tiempo de estudio, y compruebas que la pendiente de la ecuación es 5, ¿qué significa eso? Para saberlo con certeza necesitas conocer las unidades. Una vez te dan esa información, ves que la nota sube cinco puntos (variación de Y) por cada hora más de estudio (variación de X). Asimismo, debes tener cuidado con las variables que puedan expresarse en más de una unidad (por ejemplo la temperatura, que puede estar en grados Fahrenheit o en grados centígrados). En ese caso, hay que saber qué unidad se está utilizando.

Si utilizar un 1 en el denominador de la pendiente no te resulta muy significativo, puedes multiplicar el numerador y el denominador por cualquier número (siempre que sea el mismo para los dos) y hacer la interpretación correspondiente. En el ejemplo de la tensión arterial sistólica, en lugar de expresar la pendiente como [–2,5 ⁄ 1] e interpretarla como una caída de 2,5 milímetros de mercurio por cada incremento de 1 miligramo en la dosis del fármaco, puedes multiplicar el numerador y el denominador por 10 para obtener [–25 ⁄ 10], con lo que puedes decir que un incremento de 10 miligramos en la dosis provoca una caída de 25 milímetros de mercurio en la tensión arterial sistólica.

Interpretar la ordenada en el origen

La ordenada en el origen es el punto donde la recta de regresión y=mx+b corta el eje y para x=0, y se designa con la letra b. (Ver el apartado anterior “Encontrar la ordenada en el origen”.) A veces la ordenada en el origen puede interpretarse de una manera que tiene sentido, y otras veces no. Esta incertidumbre no existe para la pendiente, que siempre es interpretable. De hecho, entre estos dos elementos, la pendiente es la estrella de la película, mientras que la ordenada en el origen es esa actriz secundaria menos famosa pero también destacable.

Hay ocasiones en que la ordenada en el origen no tiene sentido. Por ejemplo, imagina que utilizas la lluvia para predecir los kilos de maíz que se cosecharán por hectárea de terreno. Sabes que si el conjunto de datos contiene un punto en que la lluvia es 0, los kilos cosechados por hectárea también serán 0. Como resultado, si la recta de regresión corta el eje y en algún otro punto, además del 0 (y no hay ninguna garantía de que lo corte en el 0; dependerá de los datos), la ordenada en el origen no tendrá sentido. De forma similar, en esas circunstancias un valor negativo de y (producción de maíz) no puede interpretarse.

Otra situación en que no es posible interpretar la ordenada en el origen es cuando no existen datos cerca del punto donde x=0. Por ejemplo, supongamos que quieres utilizar las notas obtenidas por los alumnos en el primer trimestre para predecir las notas del segundo trimestre. La ordenada en el origen representa una predicción para el segundo trimestre cuando la nota del primer trimestre es 0. Sin embargo, no cabe esperar que alguien saque un 0 o una nota próxima al 0 en un trimestre a menos que no hiciera el examen, en cuyo caso su nota ya no se habría incluido.

Muchas veces, no obstante, la ordenada en el origen tiene interés y significado, y además has recopilado datos en la zona en la que x=0. Por ejemplo, si utilizas la temperatura para intentar predecir cuántos cafés se venderán en los partidos de fútbol que se jueguen en el estadio de Green Bay, Wisconsin (por poner el ejemplo de una localidad donde hace mucho frío), sabes que algunos partidos se jugarán con temperaturas próximas o incluso inferiores a 0 grados centígrados, de manera que predecir las ventas de café a esas temperaturas tiene sentido (como ya

supondrás, cuanto más desciende la temperatura, más cafés se venden).

Un ejemplo ilustrativo: la recta de regresión para los grillos

En el apartado anterior “Representar una relación con un diagrama de dispersión” introduje el ejemplo de los grillos, cuyos chirridos están relacionados con la temperatura. La tabla 18-2 muestra los cinco estadísticos básicos mencionados en “Calcular la recta de regresión”, en este caso para el subconjunto de datos sobre grillos. (Nota: redondeo las cifras para facilitar las explicaciones.)

La pendiente, m, para la recta de mejor ajuste correspondiente al subconjunto de datos sobre chirridos y temperaturas es m = = 0,9.

Por tanto, si el número de chirridos aumenta una unidad por cada 15 segundos, cabe esperar que la temperatura aumente 0,26 grados centígrados en promedio. Para que la interpretación tenga más sentido, puedes multiplicar el numerador y el denominador de la pendiente por 10 y entonces decir que si el número de chirridos aumenta 10 unidades (por cada 15 segundos), la temperatura aumentará 2,6 grados centígrados.

Para encontrar la ordenada en el origen, b, calculas , es decir, 19,4– (0,90) (26,5)=43,15. Por consiguiente, la recta de mejor ajuste para predecir la temperatura a partir de los chirridos de grillos es y=0,90x+43,15, es decir, la temperatura (en grados centígrados)=0,90x (número de chirridos en 15 segundos)+43,2. Llegados a este punto, ¿puedes utilizar la ordenada en el origen para predecir la temperatura cuando no se oyen chirridos de grillo? Como no se han recopilado datos en este punto ni cerca de él, no puedes hacer predicciones para la temperatura en esa zona. Es decir, no puedes predecir la temperatura a partir de los chirridos de los grillos cuando los grillos están callados.

Realizar predicciones adecuadas

Una vez que has determinado la existencia de una relación lineal fuerte y has encontrado la ecuación de la recta de mejor ajuste utilizando y = mx + b, utilizas esa recta para predecir el valor y (medio) para un valor x dado. Para realizar predicciones, introduces el valor x en la ecuación y resuelves para y. Por ejemplo, si tu ecuación es y = 2 x +1 y quieres predecir y para x = 1, sustituyes la x por 1, con lo que te queda y = 2 (1) + 1 = 3.

Ten en cuenta que eres tú quien elige los valores de X (la variable explicativa) que utilizas en la ecuación, y que lo haces para predecir Y, la variable explicada, que depende totalmente de X. Es decir, utilizas una variable sobre la cual puedes recopilar datos fácilmente con la finalidad de predecir una variable Y que es difícil o imposible de medir. Esto funciona bien, siempre y cuando X e Y estén correlacionadas. En eso precisamente se fundamenta la regresión.

Volviendo a los ejemplos del apartado anterior, la recta de mejor ajuste para los grillos es y = 0,9 x + 43,2. Imagina que estás de acampada, escuchando los grillos, y recuerdas que es posible predecir la temperatura contando sus chirridos. Cuentas 35 chirridos en 15 segundos, sustituyes la x por 35 y te sale que y = 0,9 (35) + 43,2 = 74,7 (sí, te aprendiste la fórmula de memoria antes de salir de acampada, por si acaso la necesitabas). Por tanto, como los grillos han chirriado 35 veces en 15 segundos, calculas que la temperatura aproximada es de 75 grados Fahrenheit.

Tener una recta de regresión no significa que puedas introducir cualquier valor de X y obtener una buena predicción de Y. No puedes hacer predicciones utilizando valores x que no estén dentro del rango de los valores usados para calcular la regresión. En estadística eso se llama extrapolación. Mucho ojo con los investigadores que afirman cosas a partir de datos que no tienen.

Si volvemos al ejemplo de los grillos, vemos que no se han recopilado datos para menos de 18 chirridos ni para más de 39 chirridos en 15 segundos (ver la tabla 18-1). Si intentas hacer predicciones más allá de este intervalo de datos observados, te adentras en terreno desconocido. Cuanto más se alejan de este rango los valores x, más dudosas son las predicciones de y. ¿Quién puede asegurar que la línea continúa funcionando fuera del intervalo donde se recopilaron los datos? ¿De verdad crees que los grillos pueden chirriar más y más de prisa sin llegar a un límite? ¡Llegará un momento en que se desmayarán o empezarán a arder! ¿Y qué sentido tiene un número de chirridos negativo? (es como preguntarse qué se oye al aplaudir con una sola mano).

No puedes estar seguro de que todos los puntos de datos se ajustarán bien a la recta de regresión, por mucho que la correlación sea alta. Puede que uno o dos puntos se salgan de la tendencia general del resto de los datos; esos puntos se llaman valores atípicos. Probablemente uno o dos valores atípicos no influyan demasiado en el ajuste general de la recta de regresión, pero al final puedes ver que la línea no ha dado buen resultado en esos puntos concretos.

La diferencia numérica entre el valor de y predicho a partir de la línea y el valor y real que has obtenido de tus datos es lo que se llama residuo. Los valores atípicos tienen residuos grandes en comparación con el resto de los puntos, de manera que merece la pena investigar si se ha cometido un error en los datos correspondientes a esos puntos o si hay algo de particular interés en dichos datos. (En el libro Statistics II for Dummies hablo sobre los residuos con mucho más detenimiento.)

Explicar la relación: correlación frente a causa y efecto

Los diagramas de dispersión y las correlaciones identifican y cuantifican relaciones entre dos variables. Sin embargo, aunque un diagrama de dispersión revele una tendencia clara y se compruebe que los datos presentan una correlación fuerte, eso no significa necesariamente que exista una relación de causa y efecto entre las dos variables. Una relación de causa y efecto es aquella en que un cambio en una variable (en este caso X) provoca un cambio en otra variable (en este caso Y). O dicho de otro modo: el cambio en Y no sólo está asociado a un cambio en X, sino también causado directamente por X.

Por ejemplo, supongamos que se lleva a cabo un experimento médico bien controlado con el fin de determinar los efectos de diferentes dosis de cierto fármaco sobre la tensión arterial. (En el capítulo 17 explico todos los pormenores de los experimentos.) Los investigadores examinan el diagrama de dispersión y ven una tendencia lineal descendente bastante clara; calculan la correlación y resulta ser fuerte. Concluyen entonces que el incremento de la dosis de ese fármaco hace disminuir la tensión arterial. Esta conclusión de causa y efecto es correcta porque en el experimento los investigadores controlaron otras variables que pudieron influir en la tensión arterial, por ejemplo, el consumo de otros fármacos, la edad, el estado de salud general, etc.

Sin embargo, si dibujaras un diagrama de dispersión y examinaras la correlación entre el consumo de helado y la tasa de homicidios en la ciudad de Nueva York, también verías una fuerte relación lineal (en este caso, ascendente). Y aun así, nadie en su sano juicio diría que el mayor consumo de helado causa más homicidios.

¿Qué está ocurriendo aquí? En el primer caso, los datos se recopilaron a través de un experimento médico bien controlado que reduce al mínimo la influencia de otros factores que puedan afectar a la tensión arterial. En el segundo ejemplo, los datos estaban basados exclusivamente en la observación, y no se analizaron otros factores. Posteriormente los investigadores descubrieron la causa de esta fuerte relación: tanto los incrementos de la tasa de homicidios como los incrementos de las ventas de helado están relacionados con incrementos de la temperatura. La temperatura en este caso es una variable de confusión; afecta tanto a X como a Y pero no se incluyó en el estudio. (Si necesitas refrescar este concepto ve al capítulo 17.)

Que se concluya o no la existencia de una relación causal entre dos variables depende de la manera en que se haya llevado a cabo el estudio. He visto a mucha gente proclamar la existencia de una relación de causa y efecto con sólo examinar un diagrama de dispersión o una correlación. ¿Por qué lo hacen? Porque es lo que quieren creer (se aplican el dicho al revés, de manera que en su caso es “creer para ver”). Mucho ojo con esta táctica. A fin de establecer una relación de causa y efecto, necesitas un experimento bien diseñado o bien un montón de estudios de observación. Si alguien intenta establecer una relación de causa y efecto simplemente mostrando un diagrama o gráfico, preocúpate de averiguar cómo se diseñó el estudio y cómo se recopilaron los datos, y luego evalúa el estudio de forma adecuada aplicando los criterios expuestos en el capítulo 17.

Algunos investigadores y periodistas no hacen ningún caso a esta necesidad de que un experimento esté bien diseñado para poder llegar a la conclusión de que hay una relación de causa y efecto. Y el resultado son titulares del estilo de “Los médicos pueden reducir el número de demandas por negligencia médica dedicando más tiempo a sus pacientes”. En realidad, lo que se observó es que los facultativos que habían sido menos demandados por negligencia eran los que pasaban mucho tiempo con sus pacientes. Eso no significa que puedas coger a un mal médico, obligarlo a que pase más tiempo con sus pacientes y conseguir que le demanden menos por negligencia; de hecho, dedicarles más tiempo podría incluso crear más problemas.