Tablas de contingenciae independencia

En este capítulo

Elaborar tablas de contingencia con variables categóricas

Profundizar en las distribuciones marginales, conjuntas y condicionales

Comprobar la independencia y la dependencia

Ver los resultados de las tablas de contingencia con perspectiva

Las variables categóricas colocan los sujetos en grupos en función de determinadas características, comportamientos o resultados, por ejemplo, si has desayunado esta mañana (sí, no) o cuál es tu filiación política (demócrata, republicano, independiente, “otros”). La gente continuamente busca relaciones entre dos variables categóricas; apenas pasa un día sin que oigas hablar de otra supuesta relación que alguien ha descubierto.

Aquí tienes unos pocos ejemplos que he encontrado en Internet recientemente:

Los dueños de perros tienen una probabilidad mayor de llevar su mascota al veterinario que los dueños de gatos.

El uso frecuente de las redes sociales por parte de los adolescentes está asociado a la depresión.

Los niños que juegan más con videojuegos sacan mejores notas en las asignaturas de ciencias.

Con toda la información que te dan sobre variables supuestamente relacionadas, ¿cómo sabes qué hay que creer? Por ejemplo, ¿el uso frecuente de las redes sociales causa depresión, o es al revés? O a lo mejor hay una tercera variable relacionada con las otras dos, por ejemplo problemas familiares. En este capítulo te enseño a organizar y analizar datos de dos variables categóricas. Verás cómo se utilizan las proporciones para realizar comparaciones y buscar tendencias generales, y cómo se comprueba la independencia entre dos de ellas. Además, aprenderás a describir adecuadamente relaciones de dependencia, a evaluar resultados que supuestamente indiquen relaciones de causa y efecto, a hacer predicciones y a extrapolar los resultados a una población.

Organizar una tabla de contingencia

Para buscar vínculos entre dos variables categóricas, en primer lugar tienes que organizar los datos que se hayan recopilado, y una estupenda manera de hacerlo es con una tabla. Una tabla de contingencia clasifica a las personas en grupos en función de los resultados de dos variables categóricas (por ejemplo, sexo y opinión).

Supongamos que una empresa privada está construyendo un cámping y ha decidido admitir animales de compañía, siempre y cuando vayan con correa. Ahora están intentando decidir si el cámping debería tener una sección aparte para las personas que vayan con animales. Los responsables de la empresa suponen que los campistas que viajen sin mascotas estarán más a favor de habilitar esa sección que los campistas que viajen con mascotas, pero quieren saberlo con certeza. Para ello, seleccionan aleatoriamente 100 campistas de la zona, realizan una encuesta y anotan la opinión de cada uno sobre la conveniencia de habilitar una sección aparte para acampar con mascotas (sí, no), y si ellos mismos acampan con mascota (sí, no). El resultado es una hoja de cálculo con 100 filas de datos, una para cada una de las personas encuestadas. Cada fila tiene dos elementos de datos: una columna donde se indica si el campista viaja con mascota (sí, no) y otra columna donde figura la opinión de esa persona respecto a si debe habilitarse una sección aparte para quienes acampen con mascota (a favor, en contra). Supongamos que las diez primeras filas del conjunto de datos son las que figuran en la tabla 191.

Esta pequeña parte del conjunto de datos ya permite comenzar un análisis. Por ejemplo, a partir de los resultados de la columna 2 sabemos que la mitad de los encuestados (5/10=0,5) van de cámping con mascota, y la otra mitad no llevan mascota. De los campistas que llevan mascota (es decir, de las cinco personas que tienen un “sí” en la columna 2), tres (el 60%) están a favor de que se habilite una sección aparte; y esta proporción es idéntica para los campistas que no llevan mascota. Probablemente los resultados de estos diez campistas no puedan aplicarse a las 100 personas encuestadas; sin embargo, si examinaras manualmente los datos brutos de las 100 filas que integran este conjunto de datos, te costaría muchísimo encontrar tendencias.

Para hacerse una idea de lo que está ocurriendo en un conjunto de datos grande al examinar dos variables categóricas, hay que organizar los datos en una tabla de contingencia. En los siguientes apartados te explico cómo hacerlo.

Crear las celdas

Una tabla de contingencia organiza los datos categóricos de dos variables utilizando líneas para representar una variable (por ejemplo, ir de cámping con mascota: sí o no) y columnas para representar la otra variable (por ejemplo, la opinión sobre habilitar una sección aparte para los campistas que viajen con mascota: a favor o en contra). Cada persona aparece exactamente una vez en la tabla.

Continuando con el ejemplo del cámping, en la tabla 192 encontrarás resumidos los resultados de los 100 campistas encuestados.

En la tabla 192 hay 2 × 2 = 4 números. Estos números representan las celdas de la tabla de contingencia, cada una de las cuales representa una intersección de una fila y una columna. La celda de la esquina superior izquierda de la tabla representa a los 20 campistas que viajan con mascota y que están a favor de una sección aparte. En la celda superior derecha tenemos los 10 campistas que viajan con mascota y están en contra de una sección aparte. Abajo a la izquierda están los 55 campistas que viajan sin mascota y que están a favor de una sección aparte, y por último, las 15 personas de la celda inferior derecha van de cámping sin mascota y son contrarias a que se habilite una sección aparte.

Calcular los totales

Antes de ponernos en serio con el análisis de una tabla de contingencia (en el apartado “Interpretar los resultados de una tabla de contingencia”), calcularemos algunos totales y los añadiremos a la tabla para consultarlos más adelante. Las variables pueden resumirse por separado calculando los totales marginales, que representan el número total de cada fila (para la primera variable) y el número total de cada columna (para la segunda variable). Los totales marginales de fila forman una columna adicional a la derecha de la tabla, y los totales marginales de columna forman una fila adicional en la parte inferior de la tabla.

Por ejemplo, en la tabla 192, que está en el apartado anterior, el total marginal de fila para la fila 1 (el número de campistas que viajan con mascota) es 20 + 10 = 30; el total marginal de fila para los campistas que viajan sin mascota (fila 2) es 55 + 15 = 70. El total marginal de columna para los que están a favor de una sección aparte (columna 1) es 20 + 55 = 75; y el total marginal de columna para los que están en contra de una sección aparte (columna 2) es 10 + 15 = 25.

El gran total es la suma de todas las celdas de la tabla, y es igual al tamaño muestral (los totales marginales no se incluyen en el gran total, sino únicamente las celdas). El gran total se pone en la esquina inferior derecha de la tabla de contingencia. En este ejemplo el gran total es 20 + 10 + 55 + 15 = 100. La tabla 193 muestra los totales marginales de fila y columna y el gran total para los datos de la encuesta a campistas.

Los totales marginales de fila siempre suman el gran total, ya que todos los encuestados van de cámping con mascota o sin mascota. En la última columna de la tabla 193 puedes ver que 30 + 70 = 100. De forma similar, la suma de los totales marginales de columna también da siempre el gran total, ya que todos los encuestados están a favor o en contra de que se habilite una sección aparte. En la última fila de la tabla 193 puedes ver que 75 + 25 = 100.

Cuando organices una tabla de contingencia, incluye siempre los totales marginales y el gran total. Eso te ayudará a empezar con buen pie el análisis de los datos.

Interpretar las tablas de contingencia

Después de crear la tabla de contingencia (según lo indicado en el apartado anterior), calculas porcentajes a partir de los datos con el fin de responder a las preguntas formuladas. A continuación planteo algunas preguntas que pueden ser interesantes en relación con el estudio planteado y que puedes responder fijándote en los datos sobre campistas (cada pregunta se aborda en una sección distinta):

¿Qué porcentaje de campistas está a favor de una sección aparte para quienes vayan de cámping con mascota?

¿Qué porcentaje de campistas viaja con mascota y están a favor de habilitar una sección aparte para quienes vayan de cámping con
mascota?

De todos los campistas que están a favor de habilitar una sección aparte, ¿la mayoría van de cámping sin mascota o con ella?

Estas (y cualesquiera otras) preguntas referidas a los datos se contestan encontrando y trabajando con las proporciones, o porcentajes, de personas que hay en ciertas partes de la tabla. Este proceso requiere calcular y examinar lo que en estadística se llama distribuciones. Una distribución, en el caso de una tabla de contingencia, es una lista de todos los resultados posibles para una variable o una combinación de variables, junto con sus proporciones (o porcentajes) correspondientes.

Por ejemplo, la distribución correspondiente a la variable de la mascota muestra los porcentajes de personas que van de cámping con mascota y de las que van sin ella. La distribución correspondiente a la combinación de la variable de la mascota (sí, no) y la variable de opinión (a favor, en contra) muestra los porcentajes de: 1) las personas que van de cámping con mascota y que están a favor de una sección aparte; 2) las personas que van de cámping con mascota y están en contra de una sección aparte; 3) las personas que van de cámping sin mascota y están a favor de una sección aparte; y 4) las personas que van de cámping sin mascota y están en contra de una sección aparte.

En cualquier distribución, todos los porcentajes deben sumar 100%. Si estás utilizando proporciones (decimales), deben sumar 1. Cada persona preguntada debe estar en algún sitio, y no puede estar en más de un sitio a la vez.

En los siguientes apartados te explico cómo encontrar tres tipos de distribuciones. Cada una de ellas ayuda a responder a la pregunta correspondiente de la lista anterior.

Análisis de variables aisladas con distribuciones marginales

Si quieres examinar una única variable en una tabla de contingencia, no debes fijarte en las celdas de la tabla sino en los márgenes. Como hemos visto antes en el apartado “Calcular los totales”, los totales marginales representan el número total de cada fila (o columna) por separado. En la tabla de contingencia correspondiente a la encuesta a campistas (mira la tabla 193), los totales marginales para la variable de la mascota (sí/no)

se encuentran en la columna de la derecha, y los totales marginales para la variable de opinión (a favor/en contra) se encuentran en la fila de abajo.

Sin embargo, si quieres hacer comparaciones entre dos grupos (por ejemplo, las personas que van de cámping con mascota frente a las que van de cámping sin mascota), los resultados son más fáciles de interpretar cuando utilizas proporciones en lugar de totales. Supón que se ha encuestado a 350 personas; te resultará más fácil comparar los resultados si te dicen que el 60% está en el grupo A y el 40%, en el grupo B, en lugar de decirte que 210 personas están en el grupo A y 140 están en el grupo B.

Para analizar el comportamiento de una sola de las variables de una tabla de contingencia, hay que encontrar lo que en estadística se llama la distribución marginal de esa variable. En los siguientes apartados te explico la forma de calcular una distribución marginal y representarla gráficamente.

Calcular distribuciones marginales

Para encontrar la distribución marginal de una variable de una tabla de contingencia, tienes que dividir el total marginal de cada fila (o columna) por el gran total.

Si tu variable está representada por las filas (por ejemplo la variable de la mascota en la tabla 193), pones los totales marginales de fila
en los numeradores y el gran total en los denominadores. La tabla 194 muestra la distribución marginal para la variable de la mascota
(sí, no).

Si tu variable está representada por las columnas (por ejemplo la opinión sobre una sección aparte para mascotas, según se indica en la
tabla 193), pones los totales marginales de columna en los numeradores y el gran total en los denominadores. La tabla 195 muestra la
distribución marginal para la variable de opinión (a favor, en contra).

En ambos casos, la suma de las proporciones para cualquier distribución marginal debe ser 1 (con redondeo). Todos los resultados de una tabla de contingencia están sujetos a cierto error de redondeo. Para reducir este error, hay que mantener al menos dos dígitos después de la coma decimal.

Representar gráficamente distribuciones marginales

Para representar gráficamente una distribución marginal se puede utilizar un gráfico de sectores o un gráfico de barras. Ambos gráficos muestran la proporción de personas que hay en cada grupo para una única variable. >La figura 191a es un gráfico de sectores que resume la variable de la mascota, y la figura 191b es un gráfico de sectores que desglosa la variable de opinión. Como puedes ver, los resultados de estos dos gráficos de sectores se corresponden con las distribuciones marginales de las tablas 194 y 195, respectivamente.

A partir de los resultados de las dos distribuciones marginales anteriores, una para cada variable, puedes afirmar que la mayoría de las personas de esta muestra van de cámping sin mascota (70%), y que la mayoría de las personas de esta muestra (75%) están a favor de que se habilite una sección aparte para campistas con mascota.

Aunque las distribuciones marginales muestran el comportamiento de cada una de las variables por separado, no nos dicen cuál es la relación existente entre dichas variables. En el ejemplo de los campistas, sabes qué porcentaje de personas está a favor de habilitar una sección aparte, pero no puedes distinguir entre las opiniones de las personas que acampan con mascota y las que acampan sin mascota. Más adelante, en el apartado “Comparar grupos con distribuciones condicionales”, explico la manera de realizar este tipo de comparaciones.

Analizar todos los grupos: una distribución conjunta

Permíteme que te cuente una anécdota: cierto fabricante de automóviles realizó una encuesta para averiguar qué características buscan los consumidores en las camionetas pickup. Vieron que el color favorito para estas camionetas era el rojo, y la opción más popular era la tracción a las cuatro ruedas. Como respuesta a estos resultados, la empresa empezó a fabricar más camionetas rojas con tracción a las cuatro ruedas.

¿Sabes qué pasó? Metieron la pata hasta el fondo; esas camionetas no se vendían. Resulta que los clientes que compraban camionetas rojas eran en su mayoría mujeres, y las mujeres no elegían la tracción a las cuatro ruedas tanto como los hombres. Los clientes que compraban camionetas con tracción a las cuatro ruedas eran en su mayoría hombres, y en general preferían el color negro antes que el rojo. Por tanto, el resultado preferido de la primera variable (color) combinado con preferido de la segunda variable (opciones del vehículo) no da lugar necesariamente a la combinación más apreciada de las dos variables.

Para saber qué combinación de dos variables categóricas contiene la proporción más alta, tienes que comparar las proporciones de las celdas (por ejemplo, el color y las opciones del vehículo conjuntamente) y no las proporciones marginales (el color y las opciones del vehículo por separado). La distribución conjunta de ambas variables en una tabla de contingencia es una relación de todas las combinaciones posibles de filas y columnas junto con la proporción de elementos que hay en cada grupo. Se utiliza para contestar preguntas referidas a dos características; por ejemplo “¿Qué proporción de votantes son demócratas y mujeres?” o “¿Qué porcentaje de campistas viajan con mascota y están a favor de habilitar una sección aparte?”. En los siguientes apartados explico la forma de calcular y representar gráficamente una distribución conjunta.

Calcular distribuciones conjuntas

Una distribución conjunta muestra la proporción de datos que hay en cada celda de la tabla de contingencia. En el ejemplo de los campistas, las cuatro combinaciones de filas y columnas son las siguientes:

Todos los campistas que viajan con mascota y están a favor de una sección aparte.

Todos los campistas que viajan con mascota y están en contra de una sección aparte.

Todos los campistas que viajan sin mascota y están a favor de una sección aparte.

Todos los campistas que viajan sin mascota y están en contra de una sección aparte.

En todas las proporciones mencionadas en la lista anterior, la frase clave es “todos los campistas”. Coges el grupo formado por todos los campistas que han participado en la encuesta y lo divides en cuatro grupos distintos. Cuando veas la palabra “todos”, piensa automáticamente que se trata de una distribución conjunta. La tabla 196 muestra la distribución conjunta para todos los campistas que participaron en la encuesta.

Para encontrar una distribución conjunta para una tabla de contingencia, coges el número de elementos que hay en cada celda y lo divides por el gran total, para todas las celdas de la tabla. El total de todas estas proporciones debe ser 1 (puede haber cierto error de redondeo).

Para obtener los números que aparecen en las celdas de la tabla 196, coges las celdas de la tabla 193 y divides por el gran total que corresponda (10, en este caso). A partir de los resultados que aparecen en la tabla 196, puedes decir lo siguiente:

El 20% de todos los campistas encuestados viajan con mascota y están a favor de una sección aparte (ver la celda superior izquierda de
la tabla).

El 10% de todos los campistas encuestados viajan con mascota y están en contra de una sección aparte (ver la celda superior derecha
de la tabla).

El 55% de todos los campistas encuestados viajan sin mascota y están a favor de una sección aparte (ver la celda inferior izquierda de la
tabla).

El 15% de todos los campistas encuestados viajan sin mascota y están en contra de una sección aparte (ver la celda inferior derecha de
la tabla).

Si sumas las proporciones indicadas en la tabla 196, tienes 0,2 + 0,1 + 0,55 + 0,15 = 1. Cada campista aparece en una y solamente una de las celdas de la tabla.

Representar gráficamente distribuciones conjuntas

Para representar gráficamente una distribución conjunta a partir de una tabla de contingencia tienes que elaborar un gráfico de sectores con cuatro sectores, uno para cada proporción de datos correspondiente a una combinación de fila y columna. A los grupos que contienen más elementos les corresponde una porción más grande de la tarta, de manera que tienen más peso cuando se cuentan todos los votos. La figura 192 muestra un gráfico de sectores con la distribución conjunta para los datos de la encuesta a campistas.

En el gráfico de sectores de la figura 192 puedes ver algunos resultados que llaman la atención. La mayoría de las personas de la muestra (0,55 o un 55%) viajan sin mascota y están a favor de que se habilite una sección aparte para campistas con mascota. El sector más pequeño del gráfico representa a las personas que viajan con mascota y están en contra de una sección aparte (0,1 o un 10%).

Una distribución conjunta proporciona un desglose del grupo completo para las dos variables a la vez, y permite comparar las celdas entre sí y con el grupo entero. Los resultados de la figura 192 revelan que, si hoy mismo se pidiera a todos los encuestados que votaran a favor o en contra de una sección aparte para campistas con mascota, al contar todos los votos se concedería más peso a las opiniones de las personas que van de cámping sin mascota, ya que son la mayoría de las personas encuestadas (el 70%, según la tabla 194), mientras que las personas que van de cámping con mascota tendrían menos voz porque son un grupo más pequeño (30%).

Una limitación de las distribuciones conjuntas es que no permiten comparar de manera equitativa dos grupos entre sí (por ejemplo, las personas que van de cámping con mascota y las que van de cámping sin mascota), ya que este tipo de distribuciones otorgan más peso a los grupos más grandes. En la siguiente sección explico cómo comparar de manera equitativa los grupos de una tabla de contingencia.

Comparar grupos con distribuciones condicionales

Para comparar los resultados de dos grupos (por ejemplo, la opinión de las personas que van de cámping con mascota frente a la opinión de quienes van de cámping sin mascota) necesitas un tipo de distribución diferente de la distribución conjunta. Las distribuciones condicionales se utilizan para buscar relaciones entre dos variables categóricas; primero separas las personas en los grupos que quieres comparar (por ejemplo, campistas con mascota y campistas sin mascota), y a continuación comparas los grupos en función de lo que opinan sobre habilitar una sección aparte (sí, no). En los siguientes apartados te cuento cómo se calcula y representa gráficamente una distribución condicional.

Calcular distribuciones condicionales

Para encontrar distribuciones condicionales con fines de comparación, primero tienes que separar las personas en grupos de acuerdo con la variable que quieres comparar. A continuación, para cada grupo, divide el número de personas que hay en una determinada celda por el total marginal correspondiente a ese grupo. Haz esto para todas las celdas de ese grupo. Ahora repite para el otro grupo, utilizando su total marginal como denominador y las celdas de ese grupo como numeradores. (En el apartado anterior “Calcular los totales” encontrarás más información sobre totales marginales.) Ahora tienes dos distribuciones condicionales, una para cada grupo, y puedes comparar de manera equitativa los resultados de los dos grupos.

Para el ejemplo de los datos de la encuesta a campistas (que llevamos observando a lo largo de todo este capítulo), comparas las opiniones de dos grupos: las personas que van de cámping con mascota y las que van sin mascota. En términos estadísticos, quieres encontrar las distribuciones condicionales de opinión tomando como base la variable de la mascota. Así pues, separas los campistas en dos grupos, los que llevan mascota y los que no llevan mascota, y a continuación, para cada grupo, calculas los porcentajes de personas que están a favor y en contra de habilitar una sección aparte. La tabla 197 muestras estas dos distribuciones condicionales en forma de tabla (a partir de los datos de la tabla 193).

La tabla 197 se diferencia de la tabla 196 del apartado anterior “Calcular distribuciones conjuntas” en la manera de contabilizar los valores de la tabla. Ésta es la gran diferencia entre una distribución conjunta y una distribución condicional, y lo que permite realizar comparaciones equitativas utilizando la distribución condicional:

En la tabla 196, las proporciones mostradas en las celdas de toda la tabla suman 1 porque el grupo entero se desglosa para las dos
variables a la vez en una distribución conjunta.

En la tabla 197, las proporciones de cada fila de la tabla suman 1 porque cada grupo se contempla por separado en una distribución
condicional.

Representar gráficamente distribuciones condicionales

Una manera efectiva de representar gráficamente distribuciones condicionales es elaborar un gráfico de sectores para cada grupo (por ejemplo, uno para los campistas que viajan con mascota y otro para los que viajan sin mascota), de manera que cada gráfico muestre los resultados de la variable estudiada (opinión: sí o no).

Otro método consiste en utilizar un gráfico de barras apiladas. Un gráfico de barras apiladas es un gráfico de barras especial en el que cada barra tiene una altura de 1 y representa un grupo entero (una barra para los campistas que viajan con mascota y otra barra para los campistas que viajan sin mascota). Cada barra muestra el desglose de cada grupo en cuanto a la otra variable estudiada (opinión: sí o no).

La figura 193 es un gráfico de barras apiladas que muestra dos distribuciones condicionales. La primera barra es la distribución condicional de opinión para el grupo de campistas con mascota (fila 1 de la tabla 197) y la segunda barra representa la distribución condicional de opinión para el grupo de campistas sin mascota (fila 2 de la tabla 197).

Usando la tabla 197 y la figura 193, fíjate primero en las opiniones de cada grupo. Más del 50% de los campistas con mascota son partidarios de una sección aparte (el número exacto se redondea al 67%), así que puedes decir que la mayoría de ellos están a favor de una sección aparte. De forma similar, la mayoría de los campistas sin mascota (en torno al 79%, mucho más que la mitad) están a favor de una sección aparte.

Ahora compara las opiniones de los dos grupos cotejando el porcentaje de campistas con mascota que están a favor de una sección aparte (67%) y el porcentaje de campistas sin mascota que están a favor de una sección aparte (79%). Aunque en ambos grupos hay una mayoría de personas que están a favor de habilitar una sección aparte, vemos que el porcentaje de personas partidarias es mayor en el grupo de los campistas sin mascota (porque 79%>67%). Comparando las distribuciones condicionales, has visto que parece existir una relación entre la opinión y el hecho de ir de cámping con mascota. Por tanto, los datos corroboran tu corazonada original, según la cual los campistas de la zona que viajan sin mascota podrían estar más a favor de una sección aparte que los campistas que viajan con mascota.

La diferencia entre resultados encontrada en la figura 193 no es tan grande como habrías podido suponer al ver la distribución conjunta de la figura 192. La distribución condicional tiene en cuenta el número de personas que hay en cada uno de los grupos comparados, mientras que la distribución conjunta pone a todos en el mismo barco. Por eso hay que utilizar distribuciones condicionales para hacer comparaciones equitativas.

A la hora de extraer conclusiones de los datos sobre los campistas, la clave está en comprender que parece existir una relación entre las dos

variables contempladas. Los resultados de la encuesta se basan exclusivamente en tu muestra de 100 campistas. Para poder extrapolar estos resultados a toda la población de campistas de la zona que viajan con mascotas o sin ellas (que es lo que realmente quieres hacer), debes tener en cuenta que estos resultados muestrales variarán, y entonces quizá no muestren la misma diferencia. Por eso tienes que realizar un contraste de hipótesis. (Encontrarás toda la información al respecto en el capítulo 14.)

Si quieres realizar un contraste de hipótesis para una relación entre dos variables categóricas (cuando cada variable tiene sólo dos categorías, por ejemplo sí/no o varón/mujer), puedes hacer una prueba para dos proporciones (está en el capítulo 15) o una prueba chi cuadrado (la explico en mi libro Statistics II for Dummies, que de momento sólo está disponible en inglés). Si una o más variables tienen más de dos categorías, por ejemplo demócratas/republicanos/otros, tienes que utilizar la prueba chi cuadrado para verificar la independencia en la población.

Puede que te tropieces con un informe en que alguien intente mostrar una relación más fuerte de la que en realidad existe; o al revés: puede que quiera hacer menos obvia una relación mediante la forma de dibujar los gráficos. En los gráficos de sectores, por ejemplo, pueden no indicar el tamaño muestral para hacerte creer que los resultados están basados en una muestra grande, cuando a lo mejor no es así. En el caso de los gráficos de barras, aumentan o reducen la escala para que las diferencias parezcan más grandes o más pequeñas, respectivamente. (En el capítulo 6 encontrarás más información sobre gráficos engañosos para datos categóricos.)

Comprobar la independencia y describir la dependencia

La principal razón de que los investigadores recopilen datos sobre dos variables categóricas es explorar las posibles relaciones entre ellas. Por ejemplo, si una encuesta revela que hubo más mujeres que hombres que votaron por el presidente ganador de las últimas elecciones, concluyes que el sexo y el resultado de los votos están relacionados. Si se encuentra una relación entre dos variables categóricas (es decir, los resultados de los dos grupos son diferentes), los estadísticos dicen que esas variables son dependientes.

Sin embargo, si observas que el porcentaje de mujeres que votaron por el presidente actual es idéntico al porcentaje de hombres que votaron por él, entonces las dos variables (sexo y votar por el presidente actual) no están relacionadas y en estadística se dice que son independientes. En este apartado explico la forma de comprobar la independencia y describir relaciones dependientes.

Comprobar la independencia

Dos variables categóricas son independientes si los porcentajes correspondientes a la segunda variable (que generalmente representa los resultados que quieres comparar, por ejemplo estar a favor o en contra) no difieren de los porcentajes correspondientes a la primera variable (que generalmente representa los grupos que quieres comparar, por ejemplo, hombres frente a mujeres). La independencia puede comprobarse con los métodos explicados en este apartado.

Comparar los resultados de dos distribuciones condicionales

Dos variables categóricas son independientes si las distribuciones condicionales son iguales para todos los grupos que se comparan. Las variables son independientes porque, al desglosarlas y compararlas por grupos, los resultados no varían. En el ejemplo de las elecciones que puse al principio del apartado “Comprobar la independencia y describir la dependencia”, la independencia significa que la distribución condicional de la opinión es idéntica para los hombres y para las mujeres.

Supongamos que haces la encuesta a 200 votantes para averiguar si el sexo está relacionado con el hecho de que votaran por el presidente actual, y resumes los resultados en la tabla 19-8.

Para ver si el sexo y el voto son independientes, encuentras la distribución condicional de la orientación de voto de los varones y la distribución condicional de la orientación de voto de las mujeres. Si coinciden, existe independencia; si no, existe dependencia. Estas dos distribuciones condicionales han sido calculadas y aparecen en las filas 1 y 2, respectivamente, de la tabla 19-9. (Encontrarás más información al respecto en el

apartado anterior “Comparar grupos con distribuciones condicionales”.)

Para obtener los números de la tabla 19-9, comencé con la tabla 19-8 y dividí el número de cada celda por su total marginal de fila para obtener una proporción. Cada fila de la tabla 19-9 suma 1 porque cada fila representa su propia distribución condicional (si eres varón, votaste por el presidente actual o no lo hiciste, y lo mismo ocurre con las mujeres).

La fila 1 de la tabla 199 muestra la distribución condicional de la orientación de voto para los varones. Como puedes ver, el 40% de ellos votaron por el presidente actual y el 60%, no. De forma similar, la fila 2 de la tabla muestra la distribución condicional de la orientación de voto para las mujeres; igual que los hombres, el 40% de ellas votaron por el presidente actual y el 60%, no. Como estas distribuciones son idénticas, los hombres y las mujeres votaron igual; el sexo y la orientación del voto son independientes.

La figura 194 muestra las distribuciones condicionales de la orientación de voto para varones y mujeres por medio de un gráfico llamado gráfico de barras apiladas. Como las barras son exactamente iguales, concluyes que el sexo y la orientación de voto son independientes.

Para que exista independencia, no es necesario que los porcentajes de cada barra sean 5050 (por ejemplo, que el 50% de los varones votaran a favor y el 50% lo hiciera en contra). Lo que debe coincidir no son los porcentajes de cada barra (grupo), sino los porcentajes de barras distintas (grupos distintos) (por ejemplo, que el 60% de los varones esté a favor y el 60% de las mujeres también).

En lugar de comparar las filas de una tabla de contingencia para determinar si existe independencia, también puedes comparar las columnas. En el ejemplo de los votantes, tendrías que comparar el porcentaje de personas de cada sexo que votaron por el presidente actual con el porcentaje de personas de cada sexo que no lo hicieron. La conclusión de independencia sería la misma que obtuvimos anteriormente, aunque los porcentajes calculados serían diferentes.

Comparar distribución marginal y distribución condicional para determinar si existe independencia

Otra manera de comprobar si existe independencia consiste en averiguar si la distribución marginal de la orientación de voto (en general) coincide con la distribución condicional de la orientación de voto para cada uno de los grupos de sexo (varones y mujeres). Si estas distribuciones son iguales, el sexo no importa. De nuevo, el sexo y la orientación de voto son independientes.

En el ejemplo de los votantes, tenemos que la distribución condicional de la orientación de voto para los varones (la primera barra de la figura 194) es el 40% sí y el 60% no. Para encontrar la distribución marginal (global) de la orientación de voto (varones y mujeres juntos), coge los totales marginales de columna que hay en la última fila de la tabla 198 (80 sí y 120 no) y divide por 200 (el gran total). El resultado es 80 / 200 = 0,4 o 40% sí, y 120 / 200 =0,6 o 60% no. (Encontrarás una explicación más detallada en el apartado anterior “Calcular distribuciones marginales”.) La distribución marginal de la orientación de voto en general coincide con la distribución condicional de la orientación de voto para los varones, de manera que la orientación de voto es independiente del sexo.

Ahora es cuando viene de perlas tener una tablita con sólo dos filas y dos columnas. Únicamente tienes que comparar una de las distribuciones condicionales con la distribución marginal, porque únicamente tienes dos grupos que comparar. Si la orientación del voto de los varones coincide con la orientación de voto global, lo mismo ocurrirá para las mujeres. Para comprobar si existe independencia cuando tienes más de dos grupos, hay que utilizar la prueba chi cuadrado. (La explico en mi libro Statistics II for Dummies.)

Describir una relación de dependencia

Dos variables categóricas son dependientes si las distribuciones condicionales son diferentes para al menos dos de los grupos que se están comparando. En el ejemplo de los votantes presentado en el apartado anterior, los grupos son varones y mujeres, y la variable comparada es si la persona votó por el presidente actual.

La dependencia en este caso consiste en saber que el resultado de la primera variable sí influye en el resultado de la segunda variable. Si se hubiera encontrado dependencia, significaría que los varones y las mujeres no votaron de igual forma (por ejemplo, votaron por el presidente actual más varones que mujeres). Los encuestadores utilizan este tipo de datos como ayuda para controlar mejor sus estrategias electorales.

Otra manera de expresar que dos variables son dependientes es decir que están relacionadas. Sin embargo, los estadísticos no utilizan el término correlación para indicar relaciones entre variables categóricas. La palabra correlación en este contexto se refiere a la relación lineal entre dos variables numéricas (por ejemplo, altura y peso), como vimos en el capítulo 18 (los medios de comunicación cometen este error continuamente, y los estadísticos nos ponemos de los nervios).

Te pongo un ejemplo para que entiendas mejor la dependencia: el otro día me llamó la atención un comunicado de prensa publicado por el Centro Médico de la Universidad del estado de Ohio. El título decía que la aspirina puede prevenir la aparición de pólipos en personas aquejadas de cáncer colorrectal. Como uno de mis parientes cercanos falleció por culpa de esta enfermedad, me alegré mucho al ver que los investigadores estaban avanzando en ese campo, así que decidí leer el comunicado.

Habían realizado un estudio con 635 pacientes diagnosticados de cáncer colorrectal; aproximadamente la mitad de ellos (317 personas) recibieron un tratamiento con aspirina y la otra mitad (318 personas) tomaron un placebo. Se realizó un seguimiento para ver qué pacientes desarrollaban nuevos pólipos y cuáles no. Los datos del estudio se resumen en la tabla 19-10.

Comparar los resultados de las filas de la tabla 1910 para comprobar si existe independencia significa contraponer la distribución condicional de los resultados (desarrollar o no nuevos pólipos) para el grupo que recibió el tratamiento con aspirina y la distribución condicional de los resultados para el grupo que tomó un placebo. Si haces los cálculos, obtienes que el 17% (54/317) de los pacientes del grupo tratado con aspirina desarrollaron pólipos, mientras que el resto, un 83%, no los desarrollaron. El 27% (86/318) de los que tomaron el placebo desarrollaron nuevos pólipos y el resto, el 73%, no.

Como el porcentaje de pacientes que desarrollaron pólipos es mucho menor en el grupo de la aspirina que en el grupo del placebo (el 17% frente al 27%), parece existir una relación de dependencia entre el tratamiento con aspirina y el desarrollo de nuevos pólipos por parte de los pacientes de cáncer colorrectal que participaron en este estudio. Pero la pregunta es: ¿pueden extrapolarse estos resultados a toda la población? Encontrarás la respuesta en el apartado “Extrapolar de la muestra a la población”, más adelante en este mismo capítulo.

Interpretar los resultados con precaución

Es fácil dejarse llevar al encontrar una relación entre dos variables; en los medios de comunicación ocurre continuamente. Por ejemplo, en un estudio se afirma que comer huevos no influye en el nivel de colesterol como antes se pensaba; al leer el informe con detenimiento ves que el estudio se llevó a cabo con un total de 20 hombres que tenían una salud excelente, seguían dietas bajas en grasa y hacían ejercicio físico varias veces por semana. Diez hombres con buena salud comieron dos huevos al día y su concentración de colesterol no varió apenas en comparación con otros diez hombres que no comieron dos huevos al día. ¿Estos resultados pueden extrapolarse a toda la población? No hay forma de saberlo, porque los sujetos del estudio no representan a todo el mundo. (En el capítulo 17 encontrarás más información sobre cómo evaluar un experimento.)

En este apartado aprenderás a ver los resultados de una tabla de contingencia con la perspectiva adecuada, para tener claro lo que puedes y no puedes afirmar, y por qué. Éste te permitirá evaluar de forma crítica y tomar decisiones sobre los resultados que te presenten (los cuales no son

siempre correctos).

Comprobar si existe una relación de causa y efecto válida

Los investigadores que estudian dos variables generalmente buscan vínculos que apunten a una relación de causa y efecto. Una relación de causa y efecto entre dos variables categóricas significa que, si cambias el valor de una variable y todo lo demás permanece igual, eso provoca un cambio en la segunda variable (por ejemplo, que seguir un tratamiento con aspirina reduzca la probabilidad de desarrollar nuevos pólipos en pacientes aquejados de cáncer colorrectal).

Sin embargo, el simple hecho de que dos variables estén relacionadas (sean dependientes) no significa que presenten una relación de causa y efecto. Por ejemplo, observar que las personas que viven cerca de tendidos eléctricos tienen una probabilidad mayor de ir al hospital en el plazo de un año debido a una enfermedad no significa necesariamente que los tendidos eléctricos causaran las enfermedades.

La manera más efectiva de concluir la existencia de una relación de causa y efecto es llevar a cabo un experimento bien diseñado (si es posible). Encontrarás todos los detalles en el capítulo 17, pero ahora mismo puedes leer aquí los puntos más importantes. Un experimento bien diseñado cumple los tres criterios siguientes:

Reduce al mínimo el sesgo (favoritismo sistemático de sujetos o resultados).

Repite el experimento con suficientes sujetos como para que los resultados sean fiables y puedan ser reproducidos por otro
investigador.

Controla otras variables que puedan afectar al resultado y que no se incluyeron en el estudio.

En el apartado anterior “Describir una relación de dependencia” has visto un estudio en el cual se administró aspirina para prevenir la formación de pólipos en pacientes enfermos de cáncer. Por la manera en que se recopilaron los datos del estudio, puedes confiar plenamente en las conclusiones a las que llegaron los investigadores. Ese estudio es un experimento bien diseñado, según los criterios establecidos en el capítulo

17. Para evitar problemas, los investigadores hicieron lo siguiente:

Escogieron aleatoriamente los pacientes que iban a recibir el tratamiento con aspirina y los que tomarían el placebo.

Eligieron tamaños muestrales suficientemente grandes para obtener información precisa.

Controlaron otras variables eligiendo como sujetos a pacientes que se encontraban en situaciones similares y tenían antecedentes
similares.

Como el experimento estaba bien diseñado, los investigadores llegaron a la conclusión de que existía una relación de causa y efecto para los pacientes del estudio. El siguiente paso será comprobar si pueden extrapolar esos resultados a la población formada por todas las personas aquejadas de cáncer colorrectal. De ser así, el título “La aspirina previene el desarrollo de pólipos en pacientes aquejados de cáncer colorrectal” estará plenamente justificado. En el siguiente apartado verás la manera de realizar esta comprobación.

Que se concluya o no la existencia de una relación causal entre dos variables relacionadas depende de la manera en que se haya llevado a cabo el estudio. Un experimento bien diseñado es la manera más convincente de establecer una relación de causa y efecto. En aquellos casos en que realizar un experimento fuera un atentado contra la ética (por ejemplo, obligar a la gente a fumar para demostrar que el tabaquismo causa cáncer de pulmón), haría falta una montaña de estudios de observación convincentes (en los que se recopilan datos sobre fumadores y no fumadores) para demostrar que una asociación entre dos variables pasa a ser una relación de causa y efecto.

Extrapolar de la muestra a la población

En el experimento de la aspirina y los pólipos comentado en el apartado anterior “Describir una relación de dependencia”, comparaba el porcentaje de pacientes que desarrollan nuevos pólipos en el grupo tratado con aspirina (el 17%) y en el grupo tratado con placebo (el 27%). Para esta muestra la diferencia es bastante grande, así que, en principio, tengo confianza en que estos resultados podrían extrapolarse a la población formada por todas las personas que tienen cáncer. Pero ¿qué ocurriría si la diferencia entre ambas cifras fuera menor, por ejemplo el 17% frente al 20%, o incluso el 17% frente al 19%? ¿Qué diferencia debe haber entre las proporciones para que pueda suponerse la existencia de una asociación significativa entre las dos variables?

Los porcentajes comparados por medio de datos procedentes de una muestra reflejan las relaciones existentes dentro de esa muestra. No obstante, sabes que los resultados varían de una muestra a otra. Para extrapolar esas conclusiones a la población formada por todos los pacientes de cáncer colorrectal (o cualquier otra población estudiada), la diferencia entre los porcentajes determinados con la muestra debe ser estadísticamente significativa. La significación estadística quiere decir que, incluso sabiendo que los resultados varían y teniendo en cuenta esa variación, es muy improbable que las diferencias se deban al azar. De este modo, la misma conclusión extraída sobre una relación puede aplicarse a la población entera, no sólo a un determinado conjunto de datos.

Así pues, cogí los datos del estudio sobre la aspirina y los pólipos y los analicé mediante un contraste de hipótesis para ver la diferencia entre dos proporciones. (Si necesitas repasarlo ve al capítulo 15.) Las proporciones comparadas fueron la proporción de pacientes que recibieron el tratamiento con aspirina y desarrollaron nuevos pólipos y la proporción de pacientes que no tomaron aspirina y desarrollaron nuevos pólipos. A partir de estos resultados, mi valor p es inferior a 0,0024 (el valor p indica cuál sería la probabilidad de obtener los resultados de la muestra si en realidad no existiera ninguna diferencia entre las poblaciones; en el capítulo 14 encontrarás más información sobre los valores p).

Como este valor p es muy pequeño, la diferencia entre las proporciones del grupo tratado con aspirina y el grupo tratado con placebo se considera estadísticamente significativa, por lo que concluyo que existe una relación entre tomar aspirina y desarrollar un número menor de nuevos pólipos.

Para extraer conclusiones sobre las relaciones entre variables de una población no puedes basarte exclusivamente en los resultados muestrales de una tabla de contingencia. Debes tener en cuenta el hecho de que los resultados varían de una muestra a otra. El contraste de hipótesis proporciona unos límites para la diferencia que puede existir entre los resultados de la muestra, de forma que todavía pueda afirmarse que las variables son independientes. No te fíes de las conclusiones que se basan exclusivamente en datos muestrales extraídos de una tabla de contingencia.

Realizar predicciones prudentes

Un objetivo común de todas las investigaciones (en particular de los estudios médicos) es realizar predicciones, ofrecer recomendaciones y tomar decisiones después de encontrar una relación entre dos variables categóricas. Sin embargo, como consumidor de información debes ser muy cauto a la hora de interpretar resultados, ya que algunos estudios están mejor diseñados que otros.

El estudio sobre el cáncer colorrectal mencionado en el apartado anterior revela que los pacientes tratados con aspirina presentaron una probabilidad menor de desarrollar nuevos pólipos (el 17%, frente al 27% de los pacientes del grupo placebo). Como este estudio estaba bien diseñado y el contraste de hipótesis para extrapolar los resultados a la población entera fue significativo, es adecuado realizar predicciones y ofrecer recomendaciones para la población de pacientes colorrectales a partir de los resultados muestrales. El título del comunicado de prensa (“La aspirina previene el desarrollo de pólipos en pacientes aquejados de cáncer colorrectal”) está totalmente justificado.

Resistir el impulso de extraer conclusiones precipitadas

Cuando alguien afirme que existe una relación entre dos variables categóricas, no te precipites. Tómate tu tiempo para averiguar qué está ocurriendo realmente, incluso si los medios te lo están vendiendo como algo sensacional.

Por ejemplo, mientras escribo estas líneas, en las noticias de una cadena importante de televisión están diciendo que los hombres tienen el 40% más de probabilidades de morir de cáncer que las mujeres. Si eres un hombre, a lo mejor crees que debería entrarte el pánico. Sin embargo, al examinar los detalles, vemos que la realidad es otra muy diferente. Los investigadores observaron que los hombres tardan mucho más que las mujeres en acudir al médico, de manera que cuando les diagnostican un cáncer, está más avanzado y es más difícil de tratar. Como consecuencia, los hombres tienen una probabilidad mayor de morir de cáncer después del diagnóstico (no puede afirmarse que tengan una probabilidad mayor de contraer un cáncer; eso sería el tema de otro estudio). El propósito de este estudio era fomentar la detección precoz como la mejor medida de protección y animar a los hombres a que se hagan chequeos anuales. El mensaje habría quedado más claro si los medios lo hubieran comunicado correctamente (aunque no habría resultado tan emocionante ni tan dramático).

En esta parte…

Un libro de estadística que se precie no puede dejar de incluir unas cuantas estadísticas propias. En esta parte encontrarás diez formas de convertirte en un sabueso de las estadísticas y diez consejos para sacar mejor nota en un examen de estadística. Esta referencia rápida y concisa te será útil a la hora de criticar o diseñar una encuesta, detectar errores estadísticos comunes y bordar el examen final de tu curso de introducción a la estadística.