Medias, medianas y más

En este capítulo

Resumir datos eficazmente

Interpretar las estadísticas más utilizadas

Saber ver lo que dicen y no dicen las estadísticas

Todo conjunto de datos tiene una historia detrás que es posible descubrir y dar a conocer si los estadísticos se utilizan como es debido. Los estadísticos mal utilizados pueden contarte una historia distinta, o sólo una parte de ella, de manera que es muy importante conocer la manera correcta de tomar decisiones sobre la información recibida.

Un estadístico descriptivo (o estadístico, para abreviar) es un número que resume o describe alguna característica de un conjunto de datos. En este capítulo verás algunos de los estadísticos descriptivos más comunes y la manera en que se utilizan, y aprenderás a calcularlos, interpretarlos y juntarlos todos para obtener una visión clara de un conjunto de datos. Asimismo, descubrirás lo que esos estadísticos dicen y no dicen sobre los datos.

Resumir datos con estadísticos descriptivos

Los estadísticos descriptivos cogen un conjunto de datos y lo reducen a la información básica. Los datos resumidos suelen utilizarse para proporcionar a la gente información que sea fácil de entender y ayude a responder sus preguntas. Imagina que se te acerca tu jefe y te pregunta: “¿Cuál es nuestra base de clientes en la actualidad y quién compra nuestros productos?”. ¿Cómo responderías a esa pregunta? ¿Con una larga lista de números incomprensibles que casi con toda seguridad le dejarían medio aturdido? Probablemente no. Quieres unas estadísticas claras y concisas que resuman la base de clientes para que tu jefe vea lo brillante que eres y luego te envíe a recopilar más datos incluso, a ver si descubre la manera de incluir a más personas en esa base de clientes (eso es lo que sacas por ser tan eficiente). Los datos también se resumen con otros fines. Una vez que se han recopilado todos los datos de una encuesta o de otro tipo de estudio, el siguiente paso para el investigador es encontrarles algún sentido. Generalmente lo primero que hacen los investigadores es calcular algunos estadísticos básicos para hacerse una idea aproximada de lo que significan los resultados. Más adelante los investigadores pueden hacer más análisis para formular o comprobar afirmaciones sobre la población de la que proceden los datos, estimar ciertas características sobre dicha población (por ejemplo la media), buscar vínculos entre variables medidas, etc.

Otra parte importante de la investigación consiste en comunicar los resultados, no sólo a otros investigadores, sino también a los medios y al público en general. Por mucho que la comunidad científica pueda estar deseosa de echar mano a los complejos análisis realizados con un conjunto de datos, el público en general no está preparado ni tiene interés alguno en tal cosa. ¿Qué es lo que el público quiere? Información básica. Los estadísticos que comunican una idea de forma clara y concisa son los que normalmente se utilizan para transmitir información a los medios y al público.

Si realmente necesitas extraer más información de los datos, un análisis estadístico rápido no es suficiente. En el campo de la estadística no se cumple la máxima de que menos es más, y a veces con todo el jaleo puedes perder de vista la auténtica verdad que se oculta tras los datos. Para ser un consumidor de estadística bien informado tienes que reflexionar sobre qué estadísticas te están dando, qué significan realmente y qué información te falta. En este capítulo profundizo en estas cuestiones.

Cálculos con datos categóricos: tablas y porcentajes

Los datos categóricos (también llamados datos cualitativos) expresan cualidades o características de la persona, como por ejemplo su color de ojos, sexo, filiación política u opinión sobre una determinada cuestión (utilizando categorías como “a favor”, “en contra” o “sin opinión”). Generalmente se enmarcan fácilmente en grupos o categorías; por ejemplo, en Estados Unidos hay cuatro grandes grupos para la variable “partido político”: demócratas, republicanos, independientes y otros. Los datos categóricos generalmente proceden de encuestas, aunque también pueden recopilarse en experimentos. Por ejemplo, en una prueba experimental de un nuevo tratamiento médico los investigadores pueden utilizar tres categorías para valorar los resultados del experimento: ¿el paciente mejoró, empeoró o continuó igual mientras se le administraba el tratamiento? Los datos categóricos a menudo se resumen comunicando el porcentaje de personas que entran en cada categoría. Por ejemplo, los encuestadores pueden comunicar las estadísticas de filiación política dando el porcentaje de republicanos, demócratas, independientes y otros. Para calcular el porcentaje de personas que pertenecen a una determinada categoría, averigua el número de personas de esa categoría, divide por el número total de personas del estudio y luego multiplica por 100. Por ejemplo, si en una encuesta de 2.000 adolescentes había 1.200 chicas y 800 chicos, los porcentajes resultantes serían (1.200/2.000)×100=60% de chicas y (800/2.000)×100 =40% de chicos.

Los datos categóricos aún pueden desglosarse más creando tablas de contingencia. Las tablas de contingencia (también llamadas tablas de doble entrada) son tablas con filas y columnas que resumen la información de dos variables categóricas a la vez, por ejemplo el sexo y la filiación

doble entrada) son tablas con filas y columnas que resumen la información de dos variables categóricas a la vez, por ejemplo el sexo y la filiación política, para que puedas ver (o calcular fácilmente) el porcentaje de personas en cada combinación de categorías y realizar comparaciones entre grupos.

Por ejemplo, si tienes datos sobre el sexo y el partido político de las personas que han respondido a tu encuesta, podrás saber el porcentaje de mujeres republicanas, hombres republicanos, mujeres demócratas, hombres demócratas, etc. En este ejemplo, el número total de combinaciones posibles en la tabla sería 2×4=8, el número total de categorías de sexo multiplicado por el número total de categorías de filiación política. (Las tablas de contingencia se tratan a fondo en el capítulo 19, con algunos añadidos.)

Los gobiernos habitualmente calculan y resumen montañas de datos categóricos utilizando tablas de doble entrada. Por ejemplo, la tabla 5-1 recoge datos típicos de edad y sexo comunicados por la Oficina del Censo de Estados Unidos para una encuesta realizada en 2009 (normalmente la edad se consideraría una variable numérica, pero, debido a la forma en que la comunica el gobierno, dividida en categorías, pasa a ser una variable categórica).

Trabajando con los números de la tabla 5-1 puedes examinar muchas facetas diferentes de la población de Estados Unidos. Si te fijas en el sexo, por ejemplo, verás que las mujeres superan en número a los varones por muy poco —en 2009 las mujeres eran el 50,67% de la población (divide el número total de mujeres por el tamaño total de la población y multiplica por 100) y los varones el 49,33% (divide el número total de varones por el tamaño total de la población y multiplica por 100)—. También puedes fijarte en la edad: el 6,94% de toda la población tenía menos de cinco años (divide el número total de personas con menos de cinco años por el tamaño total de la población y multiplica por 100). El grupo más numeroso era el de personas entre cuarenta y cinco y cuarenta y nueve años, que representaban el 7,44% de la población.

A continuación puedes buscar una posible relación entre sexo y edad comparando varias partes de la tabla. Por ejemplo, puedes comparar el porcentaje de mujeres y varones que hay en el grupo de ochenta años o más. Pero como estos datos se facilitan en incrementos de cinco años, tendrás que hacer algunos cálculos para obtener una respuesta. El porcentaje de la población que son mujeres y tienen ochenta años o más (mirando la columna 7 de la tabla 5-1) es 2,27+1,54+0,69+0,21+0,04=4,75%. El porcentaje de hombres de ochenta años o más (mirando la columna 5 de la tabla 5-1) es 1,52+0,84+0,28+0,05+0,01=2,70%. Por tanto, el grupo de mujeres de ochenta años o más es aproximadamente el 76% más numeroso que el de varones de esa misma edad (porque [4,75–2,70]/2,70=0,76).

Estos datos confirman la creencia ampliamente aceptada de que las mujeres suelen vivir más que los hombres. Sin embargo, la diferencia entre hombres y mujeres es cada vez menor. Según la Oficina del Censo de Estados Unidos, en 2001 el 4,36% de las mujeres tenían ochenta años o más, frente al 2,31% de varones. En 2001 las mujeres pertenecientes a ese grupo de edad superaban a los varones en el 89% (observa que [4,36– 2,31] /2,31=0,89).

Una vez que tengas las tablas de doble entrada con el desglose de dos variables categóricas, puedes realizar contrastes de hipótesis para determinar si existe una relación o vínculo significativo entre esas dos variables, teniendo en cuenta que los datos varían de una muestra a otra.

En el capítulo 14 encontrarás información exhaustiva sobre los contrastes de hipótesis.

Medir el centro con la media y la mediana

En el caso de los datos numéricos, las características mensurables como la altura, el peso, el coeficiente intelectual, la edad o los ingresos se representan con números que tienen sentido en el contexto del problema (por ejemplo en unidades de centímetros, dólares o personas). Como los datos tienen un significado numérico, se pueden resumir de más maneras que los datos categóricos. El modo más frecuente de resumir un conjunto de datos numéricos es indicar dónde está el centro y una forma de pensar dónde está el centro de un conjunto de datos es preguntarse qué es un valor típico; o bien dónde está el centro de los datos. En realidad el centro de un conjunto de datos puede medirse de distintas formas, y el método elegido puede influir mucho en las conclusiones que se extraigan sobre esos datos. En este apartado hablaré de las formas de medir dónde está el centro.

Calcular la media

Los jugadores de la NBA ganan mucho dinero, ¿verdad? Más de una vez habrás oído decir que jugadores como Kobe Bryant o LeBron James ganan decenas de millones de dólares al año. Pero ¿es eso lo que gana el jugador de la NBA típico? Ya te digo yo que no (aunque tampoco es que me sienta mal por ellos, porque igualmente ganan más pasta de la que tú y yo ganaremos nunca). Decenas de millones de dólares es la cantidad de dinero que puedes exigir cuando eres una superestrella entre las superestrellas, que es precisamente lo que son esos jugadores de élite. Pero volvamos a la pregunta: ¿cuánto gana un jugador de la NBA típico? Una forma de responder es calculando la media (el estadístico más utilizado de todos los tiempos).

La media o promedio de un conjunto de datos se designa como. La fórmula para encontrar la media es la siguiente:

en la que cada valor del conjunto de datos se designa mediante una x con un subíndice i que va desde 1 (el primer número) hasta n (el último número).

Así se calcula la media de un conjunto de datos:

1. Suma todos los números del conjunto de datos.
2. Divide por la cantidad de números que haya en el conjunto de datos, n.

La media a la que me refiero aquí es aplicable a una muestra de datos y técnicamente se llama media muestral. La media de una población entera se designa con la letra griega μ y se llama media poblacional. Para calcularla se suman todos los valores de la población y se divide por el tamaño de la población, designado como N (para distinguirlo de un tamaño de muestra, n). Generalmente la media poblacional se desconoce y se utiliza una media muestral para estimarla (más/menos un margen de error; más información en el capítulo 13).

Por ejemplo, en la tabla 5-2 aparecen los datos correspondientes al sueldo de los 13 jugadores que ganaron el campeonato de la NBA en 2010 con Los Angeles Lakers.

La media de todos los sueldos del equipo es 91.378.064 dólares/13 = 7.029.082 dólares (5.452.319 euros). No está mal como sueldo medio, ¿verdad? Sin embargo, el sueldo de Kobe Bryant está muy por encima de los demás (de hecho, fue el segundo jugador mejor pagado de la liga esa temporada, por detrás de Tracy McGrady). Si quitas a Kobe de la ecuación (literalmente), el sueldo medio de todos los jugadores de los Lakers menos Kobe pasa a ser 68.343.689 dólares/12=5.695.307 dólares (o, en euros, la friolera de 4.344.564), alrededor de 1,3 millones menos que antes.

Esta nueva media continúa siendo una barbaridad de dinero, pero es bastante menos que el sueldo medio de todos los jugadores incluido Kobe (los admiradores de este jugador argumentarían que su sueldo está en consonancia con su importancia para el equipo, y otros dirían que nadie se merece tantísimo dinero; esta cuestión no es más que la punta del iceberg de las discusiones interminables que los forofos de los deportes, entre los que me incluyo, mantienen sobre las estadísticas).

En resumidas cuentas: la media no te cuenta siempre toda la verdad. A veces puede ser un poco engañosa, y éste es uno de esos casos. La razón es que todos los años hay unos pocos jugadores de altísimo nivel (como Kobe) que ganan mucho más dinero que los demás, y sus sueldos hacen que suba el salario medio.

Las cifras de un conjunto de datos que son extremadamente altas o extremadamente bajas en comparación con el resto de las cifras se llaman valores atípicos. Debido a la forma de hacer los cálculos, los valores atípicos altos tienden a subir la media (como ocurría con el sueldo de Kobe en el ejemplo anterior). Los valores atípicos bajos, por el contrario, bajan la media.

Calcular la mediana

¿Recuerdas cuando en el colegio os ponían un examen sorpresa y, mientras tú y casi todos los de la clase no llegabais al aprobado, siempre había un par de empollones que sacaban un 10? Seguramente tu profesor no presentaba la curva real de puntuaciones porque no quería reflejar el bajo nivel de la mayoría de los alumnos. Es de suponer que utilizaba la media, y la media en este caso no representa realmente lo que un estadístico consideraría la mejor medida del centro de las puntuaciones obtenidas por los alumnos.

¿Qué otro dato puedes aportar, aparte de la media, para mostrar cuál sería el sueldo de un jugador “típico” de la NBA o qué nota sacaba un estudiante “típico” de tu clase? Otro estadístico utilizado para medir el centro de un conjunto de datos es la mediana. Sin embargo, la mediana es un héroe olvidado en el sentido de que se utiliza muchísimo menos de lo que debería, aunque últimamente la gente está empezando a tenerla más en cuenta.

La mediana de un conjunto de datos es el valor que se encuentra exactamente en el centro cuando los datos están ordenados. Se designa de distintas maneras: hay quien utiliza la letra M y hay quien prefiere el símbolo. Éstos son los pasos para encontrar la mediana de un conjunto de datos:

1. Ordena las cifras de la más pequeña a la más grande.
2. Si el conjunto de datos contiene un número impar de cifras, elige la que esté exactamente en el centro. Ésa es la mediana.
3. Si el conjunto de datos contiene un número par de cifras, coge las dos del centro y calcula la media para obtener la mediana.

Los sueldos de los jugadores de Los Angeles Lakers durante la temporada 2009-2010 (puedes verlos en la tabla 5-2) están ordenados del más bajo (en el extremo inferior) al más alto (en el extremo superior). Como la lista contiene los nombres y los sueldos de 13 jugadores, el sueldo del centro es el séptimo empezando por abajo: Derek Fisher, que ganó 5.048 millones de dólares esa temporada con los Lakers. Derek está en la mediana.

Este sueldo mediano (5,048 millones de dólares) está muy por debajo de la media de 7,029 millones correspondiente al equipo en la temporada 2009-2010. Fíjate que tan sólo 4 de los 13 jugadores estaban por encima del sueldo medio de 7,029 millones de dólares. Puesto que la media incluye los valores atípicos (como el sueldo de Kobe Bryant), el sueldo mediano es más representativo del centro de los sueldos del equipo. A la mediana no le afectan igual que a la media los sueldos estratosféricos de unos pocos jugadores.

Nota: por cierto, el sueldo más bajo en los Lakers durante la temporada 2009-2010 fue de 959.111 dólares (unos 731.858 euros), un montón de pasta si se compara con los ingresos de una persona normal, pero una miseria para ser un jugador de la NBA.

El gobierno de Estados Unidos casi siempre utiliza la mediana para representar el centro en relación con los datos sobre ingresos, porque, como hemos dicho antes, a la mediana no le afectan los valores atípicos. Por ejemplo, la Oficina del Censo de Estados Unidos comunicó que en 2008 los ingresos medianos por unidad familiar ascendieron a 50.233 dólares, mientras que la media se situaba en 68.424 dólares. ¡Menuda diferencia!

Comparar medias y medianas: histogramas

A veces, el debate en torno a la media y la mediana puede ser la mar de interesante. Pongamos que trabajas para un equipo de la NBA que está renegociando los sueldos. Si representas a los propietarios, te interesa que se sepa lo mucho que están cobrando todos y lo mucho que te estás gastando tú, de manera que tendrás en cuenta a las superestrellas y comunicarás el sueldo medio. Pero si estás de parte de los jugadores, te interesará comunicar la mediana, porque es más representativa de lo que cobran los jugadores que están en el centro. El 50% de los jugadores ganan más que la mediana, y el otro 50%, menos que la mediana. Para salir de dudas, lo mejor es calcular y comparar la media y la mediana. Un buen punto de partida es un gráfico que muestre la forma de los datos.

Uno de los gráficos que puedes elaborar para ver la forma de datos numéricos (cuántos valores están cerca/lejos de la media, dónde está el centro, cuántos valores atípicos podría haber) es un histograma. Un histograma es una representación gráfica de datos numéricos organizados, donde se muestran grupos de datos y el número o porcentaje de datos que pertenecen a cada grupo. Proporciona una impresión visual del conjunto de datos. (En el capítulo 7 encontrarás más información sobre histogramas y otras formas de representación gráfica.)

Los conjuntos de datos pueden adoptar muchas formas. Aquí tienes las tres que aparecen con más frecuencia en los cursos de introducción a la estadística:

Si la mayor parte de los datos están en el lado izquierdo del histograma pero hay unos pocos valores más grandes en la derecha, se
dice que los datos están sesgados a la derecha (o que tienen sesgo positivo.)

El histograma A de la figura 5-1 muestra un ejemplo de datos sesgados a la derecha. Los pocos valores más grandes hacen que suba la
media, pero apenas afectan a la mediana. Por lo tanto, cuando los datos están sesgados a la derecha la media es más grande que la
mediana. Un ejemplo serían los sueldos de la NBA.

Si la mayor parte de los datos están en el lado derecho pero hay unos pocos valores más pequeños en el lado izquierdo del histograma,
los datos están sesgados a la izquierda (tienen sesgo negativo.)

El histograma B de la figura 5-1 muestra un ejemplo de datos sesgados a la izquierda. Los pocos valores más pequeños bajan la media,
pero influyen muy poco (o nada) en la mediana. Un ejemplo de datos sesgados a la izquierda es el tiempo que tardan los alumnos en
hacer un examen; unos pocos terminan en seguida, otros tardan algo más, y la mayoría no entregan hasta el último momento (¡alguno
se quedaría el examen para siempre si pudiera!). Cuando los datos están sesgados a la izquierda la media es más pequeña que la
mediana.

Si los datos son simétricos, tienen más o menos la misma forma en ambos lados del centro. Dicho de otro modo: si doblas el
histograma por la mitad, los dos lados son casi iguales.

El histograma C de la figura 5-1 muestra un ejemplo de datos simétricos. Cuando los datos son simétricos, la media y la mediana son
muy parecidas.

Si miras el histograma A de la figura 5-1 (cuya forma está sesgada a la derecha), verás que la cola de la gráfica (donde las barras se hacen más cortas) está en el lado derecho, mientras que en el histograma B (cuya forma está sesgada a la izquierda) la cola está en el lado izquierdo. La dirección de la cola de una distribución sesgada indica la dirección del sesgo. Cuando describas una distribución sesgada, debes mencionar siempre la dirección.

El histograma C es simétrico (presenta aproximadamente la misma forma por ambos lados). Sin embargo, no todos los datos simétricos tienen

forma de campana con ocurre en el histograma C. Mientras la forma sea aproximadamente igual en ambos lados, puedes afirmar que es simétrica.

Los valores atípicos afectan a la media de un conjunto de datos, pero no a la mediana. En la jerga técnica, cuando un estadístico no se ve afectado por una determinada característica de los datos (por ejemplo valores atípicos o sesgo), se dice que ese estadístico es resistente a esa característica. En este caso la mediana es resistente a los valores atípicos, pero la media no. Si te dan el valor medio de una variable que te interesa, pide también la mediana para poder comparar ambos estadísticos y tener una visión más clara de la situación y de lo que es realmente un valor típico.

Tener en cuenta la variación

Con independencia de las características que estés midiendo, en un conjunto de datos siempre existe variación, porque no todo el mundo va a tener exactamente el mismo valor para cada variable. La variación es lo que convierte a la estadística en lo que es. Por ejemplo, el precio de la vivienda varía de una vivienda a otra, de un año a otro y de un estado a otro. El tiempo que tardas en llegar al trabajo varía de un día a otro. El truco está en saber medir la variación de la mejor manera posible.

Comunicar la desviación estándar

Con diferencia, la medida más común para la variación de datos numéricos es la desviación estándar, que mide el grado de concentración de los datos en torno a la media; cuanto más concentrados están, más pequeña es la desviación estándar. Este estadístico no se proporciona tan a menudo como sería deseable, pero cuando sí lo indican, generalmente aparece entre paréntesis: (s=2,68).

Calcular la desviación estándar

La fórmula para calcular la desviación estándar de un conjunto de datos (s) es

Para calcular s, sigue los pasos siguientes:

1. Encuentra la media del conjunto de datos,.
2. Coge cada número del conjunto de datos (x) y réstale la media para obtener (x – ).
3. Calcula el cuadrado de cada diferencia, (x – )^2.
4. Suma todos los resultados del paso 3 para obtener la suma de los cuadrados:.
5. Divide la suma de los cuadrados (calculada en el paso 4) por la cantidad de números del conjunto de datos menos uno; es decir, (n–1). Ahora tienes:
6. Calcula la raíz cuadrada para obtener

que es la desviación estándar de la muestra, s. ¡Buf!

Al final del paso 5 obtienes un estadístico llamado variancia muestral, designada como s^2. La variancia es otra forma de medir la variación en un conjunto de datos; la pega es que se indica en unidades cuadradas. Si los datos están en dólares, por ejemplo, la variancia estaría en dólares cuadrados (lo cual no tiene sentido). Por eso se añade el paso 6. La desviación estándar tiene las mismas unidades que los datos originales.

Veamos un ejemplo. Imagina que tienes cuatro notas de examen: 1, 3, 5 y 7. La media es 16/4=4 puntos. Si restas la media a cada número, obtienes (1–4)=–3, (3–4)=– 1, (5–4)=+1, y (7–4)=+3. Al calcular el cuadrado de cada resultado obtienes 9, 1, 1 y 9. Si los sumas todos, el total es

20. En este ejemplo, n=4 y, por tanto, n–1=3, así que divides 20 entre 3 y te da 6,67. Las unidades en este caso son “puntos al cuadrado”, lo cual, obviamente, no tiene sentido. Por último, calculas la raíz cuadrada de 6,67, que es 2,58. La desviación estándar para estas cuatro notas de examen es 2,58 puntos.

Como para calcular la desviación estándar hay que seguir muchos pasos, generalmente se utiliza un ordenador. No obstante, conocer la forma de calcular la desviación estándar te ayuda a interpretar mejor este estadístico y puede ayudarte a saber cuándo podrían estar dándote un valor incorrecto.

En la fórmula para calcular s, los estadísticos dividen por n–1 (en lugar de por n) para que los resultados tengan unas propiedades que operan en un plano teórico que queda fuera del alcance de este libro (no es que sea la dimensión desconocida pero casi; créeme, por ahora no te hace falta saber más).

La desviación estándar de una población entera de datos se designa con la letra griega σ. Cuando utilizo el término desviación estándar me refiero a s, la desviación estándar de la muestra (si en algún momento me refiero a la desviación estándar de la población, ya lo diré expresamente).

Interpretar la desviación estándar

La desviación estándar puede ser difícil de interpretar como número aislado. Básicamente, una desviación estándar pequeña significa que la mayoría de los valores del conjunto de datos están próximos a la media de ese conjunto, y una desviación estándar grande significa que la mayoría de los valores del conjunto de datos están más alejados de la media.

Una desviación estándar pequeña puede ser deseable en determinadas situaciones en que los resultados están restringidos, por ejemplo en la cadena de fabricación de productos y el control de calidad. Si una pieza concreta de un vehículo debe tener 2 centímetros de diámetro para que encaje correctamente, más vale que la desviación estándar durante el proceso de fabricación no sea muy grande. En este caso una desviación estándar grande se traduciría en un montón de piezas tiradas a la basura por no encajar bien (la alternativa sería dejar que los coches circularan con problemas).

Pero en situaciones en que te limitas a observar y registrar datos, una desviación estándar grande no es necesariamente algo malo; simplemente refleja un alto grado de variación en el grupo que se está estudiando. Por ejemplo, en el conjunto de los sueldos de todas las personas que trabajan para una determinada empresa, desde el último becario hasta el director general, la desviación estándar puede ser muy grande. Sin embargo, si únicamente te fijas en los becarios, la desviación estándar será mucho menor, porque las personas pertenecientes a ese grupo tienen sueldos menos variables. El segundo conjunto de datos no es mejor, sólo es menos variable.

Igual que ocurre con la media, los valores atípicos afectan a la desviación estándar (después de todo, la fórmula para la desviación estándar incluye la media). Siguiendo con el ejemplo de la NBA, los sueldos de los jugadores de Los Angeles Lakers en la temporada 2009-2010 (mostrados en la tabla 5-2) oscilan entre 23.034.375 dólares (Kobe Bryant) y 959.111 dólares (Didier Ilunga-Mbenga y Josh Powell). ¡Mucha variación, desde luego! La desviación estándar de los sueldos de este equipo es de 6.567.405 dólares; casi tanto como la media. No obstante, como ya habrás adivinado, si quitamos del conjunto de datos el sueldo de Kobe Bryant, la desviación estándar disminuye porque el resto de los sueldos están más concentrados en torno a la media. Entonces la desviación estándar pasa a ser 4.671.508 dólares.

Para saber si una desviación estándar es grande, fíjate en las unidades. Por ejemplo, una desviación estándar de 2 en unidades de años es equivalente a una desviación estándar de 24 en unidades de meses. Asimismo, para tener una buena perspectiva de la variación estándar debes fijarte en el valor de la media. Si el número medio de grupos de noticias en los que un usuario escribe es 5,2 y la desviación estándar es 3,4, la variación es muy grande, en términos relativos. Pero si estás hablando de la edad de los usuarios de grupos de noticias, en cuyo caso la media es de 25,6 años, esa misma desviación estándar de 3,4 sería comparativamente más pequeña.

Comprender las propiedades de la desviación estándar

Aquí tienes algunas propiedades que pueden ayudarte a interpretar una desviación estándar:

La desviación estándar nunca puede ser un número negativo, debido a la forma en que se calcula y al hecho de que mide una distancia
(las distancias nunca son números negativos).

El valor más pequeño posible para la desviación estándar es 0, y eso sólo ocurre en situaciones artificiales donde todos los números del
conjunto de datos son iguales (no hay desviación).

La desviación estándar se ve afectada por los valores atípicos (valores extremadamente altos o extremadamente bajos incluidos en el
conjunto de datos). El motivo es que la desviación estándar se basa en la distancia a la media (recuerda que la media también se ve
afectada por los valores atípicos).

La desviación estándar tiene las mismas unidades que los datos originales.

En defensa de la desviación estándar

La desviación estándar es un estadístico de uso habitual, pero a menudo no recibe toda la atención que se merece. Aunque la media y la mediana están muy presentes en los medios de comunicación, es raro verlas acompañadas de algún valor que mida la diversidad del conjunto de datos, de manera que sólo te ofrecen una parte de la información. De hecho, podrías estar perdiéndote la parte más interesante.

Si no te dan la desviación estándar, no puedes saber si los datos están próximos a la media (como ocurre con los diámetros de las piezas de vehículo que salen de una cinta transportadora cuando todo funciona correctamente) o si están repartidos en un intervalo más amplio (como los precios de la vivienda y los ingresos por familia en Estados Unidos).

Por ejemplo, si alguien te dijera que el sueldo inicial medio en la empresa Statistix es de 70.000 dólares, posiblemente pensarías que eso es un montón de pasta. Pero que la desviación estándar para los sueldos iniciales en Statistix sea de 20.000 dólares significa que existe mucha variación en lo que respecta al dinero que puedes ganar, de manera que el sueldo inicial medio de 70.000 dólares ya no es tan informativo como parecía, ¿no?

Por otro lado, si la desviación estándar fuera de sólo 5.000 dólares, tendrías una idea mucho más clara de lo que podrías cobrar al empezar a trabajar en esa empresa. ¿Qué opción resulta más atractiva? Eso es algo que debe decidir cada cual, pero no cabe duda de que será una decisión mucho más informada una vez seas consciente de que la desviación estándar es un factor importante.

Sin la desviación estándar no puedes comparar bien dos conjuntos de datos. Imagina que dos conjuntos de datos tienen la misma media. ¿Significa eso que son exactamente iguales? En absoluto. Por ejemplo, los conjuntos de datos 199, 200, 201, por un lado, y 0, 200, 400, por otro, tienen la misma media (200) pero presentan desviaciones estándares muy diferentes. El primer conjunto de datos tiene una desviación estándar muy pequeña (s=1) en comparación con la del otro conjunto (s=200).

Las referencias a la desviación estándar quizá acaben generalizándose en los medios de comunicación cuando la gente (como tú, por ejemplo) descubra lo que este estadístico puede decir sobre un conjunto de resultados y entonces empiece a pedirla. Por otro lado, también es probable que la desviación estándar se comunique y se utilice cada vez más en el terreno profesional.

Fuera de rango

El rango es otro estadístico utilizado para medir la diversidad en un conjunto de datos. El rango es la diferencia entre el valor más grande y el valor más pequeño del conjunto de datos. Es muy fácil de calcular; sólo tienes que poner los números en orden (del más pequeño al más grande) y hacer una resta. A lo mejor por eso el rango se utiliza tanto; desde luego no es por su valor interpretativo.

El rango de un conjunto de datos apenas transmite alguna información. Depende de sólo dos números del conjunto de datos, y ambos pueden reflejar valores extremos (valores atípicos). Yo te aconsejo que te olvides del rango y calcules la desviación estándar, ya que, al tener en cuenta todos los valores, es una medida mucho más informativa de la variación existente en el conjunto de datos. O también puedes calcular otro estadístico llamado rango intercuartílico, que es similar al rango pero con una diferencia importante: elimina los problemas causados por los valores atípicos y el sesgo al fijarse únicamente en el 50% central de los datos y

calcular el rango de esos valores. Encontrarás más información al respecto en el apartado “Consideraciones sobre el rango intercuartílico”, al final de este capítulo.

La regla empírica (68-95-99,7)

Proporcionar una medida de tendencia central (por ejemplo la media o la mediana) junto con una medida de variación (por ejemplo la desviación estándar o el rango intercuartílico) es una buena forma de describir los valores en una población. En el caso de que la curva de los datos tenga forma de campana (es decir, los datos tengan una distribución normal, de la que te hablo en el capítulo 9), la mejor combinación es la media poblacional y la desviación estándar, y existe una regla especial que relaciona ambos estadísticos para obtener información bastante detallada sobre el total de la población.

La regla empírica dice que si una población tiene una distribución normal, con una media poblacional μ y una desviación estándar σ, entonces:

Aproximadamente el 68% de los valores se encuentran a una desviación estándar de la media (es decir, entre la media menos una vez
la desviación estándar, y la media más una vez la desviación estándar). En notación estadística, esto se representa como μ ±1σ.

Aproximadamente el 95% de los valores se encuentran a dos desviaciones estándares de la media (es decir, entre la media menos dos
veces la desviación estándar, y la media más dos veces la desviación estándar). La notación estadística para esto es μ ± 2 σ.

Aproximadamente el 99,7% de los valores se encuentran a tres desviaciones estándares de la media (es decir, entre la media menos
tres veces la desviación estándar, y la media más tres veces la desviación estándar). Los estadísticos utilizan la siguiente notación para
representar esto: μ ±3σ.

La regla empírica también se conoce como regla 68-95-99,7, en alusión a estas tres propiedades. Sirve para describir una población, en lugar de una muestra, pero también puedes utilizarla como ayuda para decidir si una muestra de datos procede de una distribución normal. Si la muestra es suficientemente grande y ves que su histograma tiene forma acampanada, puedes comprobar si los datos cumplen los porcentajes 68-95- 99,7. En caso afirmativo, es razonable inferir que los datos proceden de una distribución normal. Esto es importante porque la distribución normal tiene muchas ventajas, como podrás ver en el capítulo 9.

La figura 5-2 muestra los tres componentes de la regla empírica. La razón de que haya tantos valores (el 68% aproximadamente) a menos de una desviación estándar de la media es que, cuando los datos tienen forma de campana, la mayoría de los valores se amontonan en el centro, cerca de la media (como puedes ver en la figura 5-2).

Al añadir otra desviación estándar en ambos lados de la media, el porcentaje aumenta de 68 a 95, lo cual supone un salto importante y te da una idea clara de dónde se encuentran la “mayoría” de los datos. La mayoría de los investigadores prefieren un rango del 95% (en lugar del 99,7%) para comunicar sus resultados, ya que no merece la pena aumentar el rango a tres desviaciones estándares por cada lado de la media (en lugar de dos) sólo para incluir ese último 4,7% de los valores.

La regla empírica te dice aproximadamente qué porcentaje de valores se encuentran dentro de un determinado rango respecto de la media, y hago especial hincapié en la palabra “aproximadamente”. Estos resultados no son más que aproximaciones, y sólo son aplicables si los datos siguen una distribución normal. No obstante, la regla empírica es un resultado importante en estadística porque la idea de usar dos desviaciones estándares para abarcar el 95% de los valores aparece a menudo en relación con intervalos de confianza y contrastes de hipótesis. (Los intervalos de confianza y los contrastes de hipótesis se tratan en los capítulos 13 y 14, respectivamente.)

Aquí tienes un ejemplo de cómo utilizar la regla empírica para describir mejor una población cuyos valores presentan una distribución normal: en un estudio de cómo la gente hace amistades en el ciberespacio utilizando los grupos de noticias, se decía que los usuarios de un determinado grupo de noticias tenían una edad media de 31,65 años, con una desviación estándar de 8,61 años. Supongamos que los datos se representaron gráficamente con un histograma y seguían una curva en gaussiana similar a la que aparece en la figura 5-2.

Según la regla empírica, aproximadamente el 68% de los usuarios de grupos de noticias tenían edades que se encontraban a una desviación estándar (8,61 años) de la media (31,65 años). Por lo tanto, aproximadamente el 68% de los usuarios tenían entre 31,65–8,61 años y 31,65+8,61 años, es decir, entre 23,04 y 40,26 años. Aproximadamente el 95% de los usuarios de grupos de noticias tenían entre 31,65–2(8,61) años y 31,65+2(8,61) años, es decir, entre 14,43 y 48,87 años. Por último, aproximadamente el 99,7% de los usuarios de grupos de noticias tenían entre 31,65–3(8,61) años y 31,65+3(8,61) años, es decir, entre 5,82 y 57,48 años.

Esta aplicación de la regla proporciona una visión mucho más clara de lo que está ocurriendo en este conjunto de datos que si te limitas a considerar la media, ¿no crees? Como puedes ver, la media y la desviación estándar juntas añaden valor a los resultados. Pasar estos valores por el tamiz de la regla empírica te permite conocer los rangos de la “mayoría” de los datos.

Recuerda: la condición para poder utilizar la regla empírica es que los datos tengan una distribución normal. Si no es así (o si no sabes cuál es la forma de la curva), no puedes utilizar esta regla. Para describir los datos en esos casos puedes utilizar percentiles, que representan ciertos puntos de corte en los datos. (Ver el último apartado: “Hacer un resumen pentanumérico”.)

Medir la posición relativa con percentiles

Algunas veces los valores exactos de la media, la mediana y la desviación estándar carecen de importancia, y lo único que interesa es saber dónde te encuentras con respecto al resto de la manada. En esos casos necesitas un estadístico que te diga la posición relativa, y ese estadístico se llama percentil. El percentil k es un número del conjunto de datos que divide los datos en dos partes: la parte inferior contiene el k% de los datos, y la parte superior contiene el resto de los datos (es decir, el [100–k]%, ya que la totalidad de los datos es el 100%). Nota: k es cualquier número entre 1 y 100.

La mediana es el percentil 50: el punto en que el 50% de los datos están por debajo y el otro 50% están por encima.

En este apartado te enseño a calcular, interpretar y juntar percentiles para descubrir la verdad que se oculta tras un conjunto de datos.

Calcular percentiles

Para calcular el percentil k (donde k es un número cualquiera entre 1 y 100), sigue los pasos siguientes:

1. Ordena todos los números del conjunto de datos del más pequeño al más grande.
2. Multiplica el porcentaje k por la cantidad total de números, n.

3a. Si el resultado del paso 2 es un número entero, sigue con el paso 4. Si el resultado del paso 2 no es un número entero,
redondéalo al siguiente número entero y ve al paso 3b.

3b. Cuenta los números del conjunto de datos de izquierda a derecha (del más pequeño al más grande) hasta llegar al valor
indicado por el paso 3a. El valor correspondiente del conjunto de datos es el percentil k.

4. Cuenta los números del conjunto de datos de izquierda a derecha hasta llegar al indicado por el paso 2. E l percentil k es la media entre ese valor correspondiente del conjunto de datos y el valor inmediatamente superior.

Por ejemplo, supongamos que tienes 25 notas de examen ordenadas de la más baja a la más alta, de la manera siguiente: 43, 54, 56, 61, 62, 66, 68, 69, 69, 70, 71, 72, 77, 78, 79, 85, 87, 88, 89, 93, 95, 96, 98, 99, 99. Para encontrar el percentil 90 de estas notas (ordenadas), empieza multiplicando 90por el número total de notas, es decir: 90×25=0,90×25=22,5. Si redondeas al siguiente número entero, te da 23.

Cuenta de izquierda a derecha (del número más pequeño al número más grande del conjunto de datos) hasta llegar al 23.º número del conjunto de datos. Ese número es el 98, y es el percentil 90 de este conjunto de datos.

Ahora pongamos que quieres encontrar el percentil 20. Empieza calculando 0,20×25=5; este número es entero, de manera que saltas del paso 3a al paso 4, que nos dice que el percentil 20 es la media entre el 5.° y 6.° números del conjunto de datos ordenados (62 y 66). Así pues, el percentil 20 es (62+66)/2=64. La mediana (el percentil 50) de las notas de examen es la 13.a nota: 77.

No existe una fórmula única y definitiva para calcular percentiles. La fórmula que indico está diseñada para facilitar y hacer más intuitivo el cálculo del percentil, sobre todo si haces las cuentas a mano; no obstante, para trabajar con un ordenador se utilizan otras fórmulas. Los resultados obtenidos con otros métodos pueden diferir, pero no mucho.

Interpretar percentiles

Los percentiles indican la posición relativa de un valor en concreto dentro de un conjunto de datos. Si eso es lo que más te interesa, entonces no importa cuáles sean la media y la desviación estándar del conjunto de datos, y tampoco el valor del dato. Lo que importa es la posición, no en relación con la media, sino en relación con el resto de los valores: y eso es lo que te dice el percentil.

Por ejemplo, en el caso de las notas de examen, ¿qué más da cuál sea la media mientras hayas sacado mejor nota que la mayoría de tus compañeros de clase? Quién sabe, a lo mejor el examen era dificilísimo y una nota de 40 sobre 100 era un magnífico resultado (eso me pasó a mí una vez en clase de matemáticas avanzadas, ¡que no te pase nunca a ti!). En este caso la nota en sí no te dice nada, pero el percentil lo dice todo.

Pongamos que tu nota es mejor que el 90% de las notas de la clase. Eso significa que tu nota está en el percentil 90 (por tanto, k=90), con lo que a lo mejor te ponen un sobresaliente. Por el contrario, si tu nota está en el percentil 10 (algo que a ti jamás te ocurriría porque eres un magnífico estudiante), entonces k=10; eso significa que sólo un 10% del resto de las notas son más bajas que la tuya, y el 90% son más altas; en ese caso está claro que no te van a poner un sobresaliente. Una cosa buena de los percentiles es que tienen una interpretación universal: estar en el percentil 95 significa lo mismo con independencia de si estás hablando de notas de examen o de pesos de paquetes enviados por correo; el percentil 95 significa siempre que el 95% del resto de los valores están por debajo del tuyo, y el 5% están por encima. Esto, además, te permite comparar de manera imparcial dos conjuntos de datos que tengan medias y desviaciones estándares diferentes. Este estadístico iguala el terreno de juego y te ofrece una manera de comparar manzanas y naranjas, por así decirlo.

Un percentil no es un porcentaje; un percentil es un número (o la media entre dos números) del conjunto de datos que indica un punto concreto dentro del recorrido completo de los datos. Pongamos que haces un examen de acceso a la universidad y te dicen que tu nota está en el percentil

80. Eso no significa que hayas respondido correctamente al 80% de las preguntas. Significa que el 80% de las notas de otros estudiantes que se hayan examinado contigo son más bajas que la tuya, y el 20% son más altas que la tuya.

Un percentil alto no siempre es algo bueno. Por ejemplo, si tu ciudad está en el percentil 90 en cuanto a tasa de delincuencia en comparación con otras ciudades del mismo tamaño, significa que el 90% de ciudades similares a la tuya tienen una tasa de delincuencia más baja, lo cual no es bueno para ti. Otro ejemplo son las tarjetas de puntuación de los golfistas; en el golf una puntuación baja es algo bueno, de manera que un resultado que te sitúe en el percentil 80 no te permitirá clasificarte para el circuito de la PGA, y lo digo sin acritud.

Comparar ingresos familiares

El gobierno de Estados Unidos suele incluir percentiles en sus resúmenes de datos. Por ejemplo, según la Oficina del Censo de Estados Unidos, los ingresos medianos (percentil 50) por unidad familiar ascendieron a 42.228 dólares en 2001, y a 50.233 dólares en 2007. La Oficina también proporciona varios percentiles para los ingresos por unidad familiar en cada año, incluidos los percentiles 10, 20, 50, 80, 90 y 95. La tabla 5-3 muestra los valores de cada uno de estos percentiles para los años 2001 y 2007.

Si observas los percentiles de 2001 en la tabla 5-3, verás que las cifras correspondientes a los percentiles más bajos están más próximas entre sí que las correspondientes a los percentiles más altos. La diferencia entre el percentil 20 y el percentil 50 es de 24.000 dólares aproximadamente, mientras que la dispersión entre el percentil 50 y el percentil 80 se acerca a 41.000 dólares. La diferencia entre los percentiles 10 y 50 es de tan sólo 31.000 dólares aproximadamente, mientras que la diferencia entre los percentiles 50 y 90 alcanza los 74.000 dólares.

Los percentiles de 2007 son todos más altos que los percentiles de 2001 (¡lo cual es una buena noticia!), y también presentan una mayor dispersión. Para 2007, hay una diferencia de 30.000 dólares aproximadamente entre los percentiles 20 y 50, y de 50.000 dólares aproximadamente entre los percentiles 50 y 80; y ambas diferencias son mayores que en 2001. De forma similar, el percentil 10 está más alejado del percentil 50 (la diferencia ronda los 38.000 dólares) en 2007 que en 2001, y el percentil 50 está más alejado del 90 (86.000 dólares de diferencia) en 2007 que en 2001. Estos resultados nos dicen que los ingresos han aumentado en general en todos los niveles entre 2001 y 2007, pero la diferencia entre esos niveles es cada vez mayor. Por ejemplo, el percentil 10 de ingresos fue 10.913 dólares en 2001 (puedes verlo en la tabla 5-3) y 12.162 dólares en 2007; esto representa un incremento del 11% aproximadamente (resta uno de otro y divide por 10.913). Ahora

compara los percentiles 95 de 2007 y 2001: el incremento es de casi un 18%. Técnicamente habría que ajustar los valores de 2001 para tener en cuenta la inflación, pero ya ves por dónde van los tiros.

Los cambios en los porcentajes afectan a la variabilidad de un conjunto de datos. Por ejemplo, si los aumentos de sueldo se dan en forma de porcentaje, la diversidad de los sueldos también aumenta; viene a ser la idea de que “los ricos se hacen más ricos”. Si a un trabajador que gana 30.000 dólares le conceden un aumento del 10%, pasa a cobrar 33.000 dólares (un aumento de 3.000 dólares); pero si está ganando 300.000 dólares, un aumento del 10% hace que pase a cobrar 330.000 dólares (una diferencia de 30.000 dólares). Por tanto, cuando entres a trabajar en un sitio nuevo negocia el sueldo más alto que puedas, porque los aumentos que te den en el futuro también supondrán una cantidad mayor.

Exámenes y percentiles

Cada año millones de alumnos de secundaria estadounidenses hacen un examen de ámbito nacional que forma parte del proceso de acceso a la universidad (es el equivalente a la selectividad en España). Esta prueba, llamada ACT, está pensada para valorar la capacitación de los futuros estudiantes universitarios en las áreas de inglés, matemáticas, lectura y ciencia. Cada sección de la prueba tiene una calificación máxima de 36 puntos.

Cuando salen las notas de la ACT, no se da la media ni la desviación estándar de las puntuaciones obtenidas por los alumnos (si se hiciera, sería un auténtico lío, porque estos estadísticos pueden cambiar para cada examen, y entonces la gente se quejaría de que un examen es más difícil que otro, cuando en realidad las puntuaciones per se no son relevantes). Para evitar estos problemas, y por otros motivos, los resultados de los exámenes se dan por medio de percentiles.

Generalmente los percentiles se proporcionan en forma de una lista predeterminada. Por ejemplo, la Oficina del Censo de Estados Unidos comunica los percentiles, 10, 20, 50, 80, 90 y 95 para los ingresos por unidad familiar (como puedes ver en la tabla 5-3). La prueba de ACT, sin embargo, utiliza los percentiles de manera diferente. En lugar de comunicar las notas de examen correspondientes a una lista de percentiles preconfeccionada, elaboran una lista con todas las calificaciones posibles y comunican el percentil correspondiente, sea el que sea. De este modo cada cual sabe dónde está; sabiendo tu nota, sólo tienes que encontrar tu percentil.

La tabla 5-4 muestra los percentiles de las puntuaciones obtenidas en las pruebas ACT de matemáticas y lectura en 2009. Para interpretar una puntuación, busca la fila correspondiente a la nota y la columna del área en cuestión (por ejemplo, lectura). En la intersección de la fila y la columna encontrarás el percentil representado por cada puntuación; dicho de otro modo, verás qué porcentaje de los estudiantes que se examinaron sacaron una puntuación más baja.

Por ejemplo, imagina que Andrew ha sacado un 30 en el examen de matemáticas; en la tabla 5-4 busca la fila 30 en la columna de matemáticas y comprueba que su puntuación está en el percentil 95. En otras palabras: el 95% de los estudiantes obtuvieron una puntuación más baja que la suya, y sólo el 5% sacaron más nota que él.

Ahora imagina que Andrew también ha sacado un 30 en el examen de lectura. Que una puntuación de 30 represente el percentil 95 en matemáticas no significa necesariamente que una puntuación de 30 también represente el percentil 95 en lectura (probablemente sea razonable esperar que un número menor de estudiantes consiga un 30 o más en la prueba de matemáticas que en la prueba de lectura).

Para comprobar mi teoría, echa un vistazo a la columna 3 de la tabla 5-4, en la fila correspondiente a una puntuación de 30. Como puedes ver, una puntuación de 30 en el examen de lectura sitúa a Andrew en el percentil 91 (un poco menos que en el examen de matemáticas, pero una buena nota igualmente).

Hacer un resumen pentanumérico

En lugar de comunicar una única medida de tendencia central o una única medida de dispersión, puedes crear un grupo de estadísticos y juntarlos todos para obtener una descripción más detallada de un conjunto de datos. La regla empírica (descrita anteriormente en este mismo capítulo) utiliza la media y la desviación estándar juntas para describir un conjunto de datos con forma de campana. Si los datos no tienen forma de campana, se utiliza otro grupo de estadísticos (basados en percentiles) para proporcionar una visión general sobre ellos. Este método consiste en dividir los datos en cuatro partes (con igual cantidad de datos en cada parte) y comunicar los cinco puntos de corte que separan dichas partes. Estos puntos de corte se representan con cinco estadísticos que describen la manera en que están distribuidos los datos.

El resumen pentanumérico es un grupo de cinco estadísticos descriptivos que dividen el conjunto de datos en cuatro partes iguales. Los cinco números de un resumen pentanumérico son:

1. El número mínimo (más pequeño) del conjunto de datos.
2. El percentil 25 (también llamado primer cuartil, o Q 1 ).
3. La mediana (el percentil 50).
4. El percentil 75 (también llamado tercer cuartil, o Q 3 ).
5. El número máximo (más grande) del conjunto de datos.

Por ejemplo, pongamos que quieres saber el resumen pentanumérico de las 25 notas de examen siguientes (ordenadas): 43, 54, 56, 61, 62, 66, 68, 69, 69, 70, 71, 72, 77, 78, 79, 85, 87, 88, 89, 93, 95, 96, 98, 99, 99. El mínimo es 43, el máximo es 99 y la mediana es el número que está justamente en el centro, 77.

Para encontrar Q 1 y Q 3 tienes que seguir los pasos indicados en el apartado “Calcular percentiles”, con n=25. El paso 1 está hecho porque los datos están ordenados. Para el paso 2, como Q 1 es el percentil 25, multiplicamos 0,25×25=6,25. Este número no es entero, de manera que, según dice el paso 3a, lo redondeamos al alza hasta 7 y continuamos con el paso 3b.

Según el paso 3b, debes contar de izquierda a derecha en el conjunto de datos hasta llegar al 7.° número, 68; ya tienes Q 1. Para Q 3 (el percentil 75) multiplicas 0,75×25=18,75 y redondeas a 19. El 19.º número de la lista es 89, ahí está Q 3. Si lo juntas todo, te sale que el resumen pentanumérico para estas 25 notas de examen es 43, 68, 77, 89 y 99. La mejor manera de interpretar un resumen pentanumérico es con un diagrama de cajas. Encontrarás más información al respecto en el capítulo 7.

Consideraciones sobre el rango intercuartílico

El propósito del resumen pentanumérico es proporcionar estadísticos descriptivos para el centro, la variación y la posición relativa, todo de una vez. La medida del centro en el resumen pentanumérico es la mediana, mientras que el primer cuartil, la mediana y el tercer cuartil son medidas de la posición relativa.

Para obtener una medida de la variación a partir del resumen pentanumérico, puedes calcular el rango intercuartílico (o RIC). El RIC es igual a Q 3 – Q 1 (es decir, el percentil 75 menos el percentil 25) y refleja el espacio ocupado por el 50% central de los datos. Si el RIC es pequeño, sabes que muchos datos están próximos a la mediana. Si el RIC es grande, sabes que los datos están más dispersos en torno a la mediana. El RIC del conjunto de datos formado por las notas de examen es 89–68=21, un número bastante grande teniendo en cuenta que las notas sólo van de 0 a 100.

El rango intercuartílico mide la variación mucho mejor que el rango normal (valor máximo menos valor mínimo; lee el apartado “Fuera de rango” en este mismo capítulo). La razón es que el rango intercuartílico no tiene en cuenta los valores atípicos, sino que los descarta para centrarse exclusivamente en la distancia que ocupan el 50% central de los datos (es decir, el espacio entre los percentiles 25 y 75).

Si se eligen bien y se usan correctamente, los estadísticos descriptivos pueden darte mucha información sobre un conjunto de datos, por ejemplo dónde está el centro, cuál es el grado de diversidad y dónde se encuentra una parte importante de los datos. Sin embargo, los estadísticos descriptivos tampoco lo dicen todo, y en ocasiones pueden resultar equívocos. Estate atento a situaciones en que convendría más utilizar otro estadístico (por ejemplo, la mediana describe el centro de manera más ecuánime que la media cuando los datos están sesgados), y mantén los ojos abiertos por si en algún caso no te dan un estadístico fundamental (por ejemplo, cuando te dicen la media pero no la desviación estándar).