Representación gráfica de datos numéricos

En este capítulo

Elaborar e interpretar histogramas y diagramas de cajas para datos numéricos

Analizar los datos numéricos de cronogramas

Estrategias para detectar gráficos engañosos e incorrectos

El propósito principal de los diagramas y gráficos es resumir unos datos y presentar visualmente los resultados para transmitir un punto de vista de manera clara, eficaz y correcta. En este capítulo hablo de las formas de presentación gráfica utilizadas para resumir datos numéricos, es decir, datos que representan recuentos (por ejemplo el número de pastillas que toma diariamente un diabético, o el número de accidentes que ocurren cada año en una determinada intersección) o mediciones (el tiempo que tardas en llegar al trabajo o tu tensión arterial).

Verás ejemplos de cómo elaborar, interpretar y evaluar las formas más comunes de representar datos numéricos: cronogramas, histogramas y diagramas de cajas. Asimismo, señalo muchos problemas que pueden surgir con estos gráficos, entre los que están la lectura incorrecta que se hace a menudo. Esta información te ayudará a desarrollar unas habilidades detectivescas importantes para detectar rápidamente los gráficos que induzcan a error.

Historia de un histograma

Un histograma proporciona una impresión visual de todos los datos desglosados en grupos numéricamente ordenados, con lo que obtienes rápidamente una visión general de esos datos, en particular de su forma. En este apartado te enseño a elaborar e interpretar histogramas, y a valorar si son correctos e imparciales.

Elaborar un histograma

Un histograma es un gráfico especial que se aplica a datos desglosados en grupos numéricamente ordenados; por ejemplo, grupos de edades como 10-20, 21-30, 31-40, etc. En un histograma las barras están conectadas entre sí, a diferencia de un gráfico de barras (capítulo 6), donde las barras están separadas y representan categorías que no siguen un orden concreto. La altura de cada una de las barras de un histograma representa el número de elementos que hay en su correspondiente grupo (frecuencia) o el porcentaje de elementos que hay en cada grupo (frecuencia relativa). Cada elemento del conjunto de datos pertenece a una sola barra.

Puedes hacer un histograma a partir de cualquier conjunto de datos numéricos; sin embargo, no puedes determinar los valores reales del conjunto de datos a partir de un histograma, porque únicamente sabes a qué grupo pertenece cada valor.

Un ejemplo merecedor de un premio

Para todos los amantes del cine que estéis leyendo este libro (en particular los aficionados a las películas antiguas), aquí va un ejemplo de cómo crear un histograma. Los premios Oscar comenzaron a otorgarse en 1928, y una de las categorías más populares ha sido siempre la de mejor actriz en un papel principal. La tabla 7-1 muestra las ganadoras de las ocho primeras estatuillas a la mejor actriz, los años en que ganaron (1928- 1935), sus edades en el momento de recibir el premio, y las películas en que participaron. Como puedes ver, las edades van de los 22 a los 62 años, un abanico mucho más amplio de lo que podría uno pensar.

Para tener más información sobre las edades de las actrices premiadas, amplié el conjunto de datos al período 1928-2009. La variable “edad” de este conjunto de datos es numérica, de manera que puede representarse gráficamente mediante un histograma. A partir de aquí es posible responder a preguntas como las siguientes: ¿Cuáles son las edades de estas actrices? ¿Son mayoritariamente jóvenes, viejas, de mediana edad? ¿Las edades presentan mucha dispersión o son similares? ¿La mayoría de ellas se encuentran dentro de un intervalo determinado, con unos pocos valores atípicos (actrices muy jóvenes o muy viejas, en comparación con el resto)? Para responder a estas preguntas, la figura 7-1 muestra un histograma de las edades de las actrices galardonadas con un Oscar.

Como puedes ver, las edades se indican en el eje horizontal (x), en grupos de cinco años: 20-25, 25-30, 30-35 … 80-85. El porcentaje (frecuencia relativa) de actrices incluidas en cada grupo de edad se indica en el eje vertical (y). Por ejemplo, aproximadamente el 27 % de las actrices tenían entre treinta y treinta y cinco años de edad cuando ganaron el Oscar.

Crear grupos apropiados

Para la figura 7-1 utilicé grupos de cinco años porque este incremento determina una periodización natural en la vida de una persona y porque así me salían suficientes barras como para buscar pautas generales. De todos modos, no es imprescindible utilizar este intervalo concreto: a la hora de crear un histograma puedes permitirte alguna que otra licencia poética (sin embargo, esta libertad permite que otros te engañen, como verás más adelante en el apartado “Detectar histogramas engañosos”). Aquí tienes algunos consejos para crear un histograma:

Cada conjunto de datos requiere intervalos de diferente tamaño, pero debes evitar los que sean demasiado grandes o demasiado
pequeños.

• Si los intervalos que determinan los grupos de un histograma son muy grandes, todos los datos estarán incluidos en un número de barras muy pequeño, con lo que será imposible realizar comparaciones significativas.
• Si los intervalos del histograma son muy pequeños, habrá un montón de barras minúsculas que te impedirán obtener una visión general. En ese caso los datos se verán muy revueltos y no revelarán ninguna pauta.

Asegúrate de que todos los grupos son igual de grandes. Si una barra es más ancha que las demás, puede que contenga más datos de
los que debería, por lo cual, tampoco podrás realizar comparaciones adecuadas

Una idea que podría servirte para elaborar un histograma es coger el rango completo de datos (el más grande menos el más pequeño) y dividirlo por diez para que te salgan diez grupos.

El problema de los valores límite

Siguiendo con el ejemplo de los Oscar, ¿qué pasa si la edad de una actriz está justo en un límite? Por ejemplo, en la tabla 7-1 vemos que en 1930, cuando ganó el Oscar por La divorciada, Norma Shearer tenía treinta años. ¿Habría que incluirla en el grupo de edad 25-30 (la barra inferior) o en el grupo de edad 30-35 (la barra superior)?

Mientras seas coherente con todos los puntos de datos, puedes asignar los puntos límite a las barras inferiores respectivas o a las barras superiores respectivas. Lo importante es elegir un criterio y mantener la coherencia. En este caso decidí seguir la norma de poner los valores límite en las barras superiores respectivas, de manera que la edad de Norma Shearer queda dentro de la tercera barra, el grupo de edad 30-35 de la figura 7-1.

Aclaraciones sobre los ejes

La parte más compleja de interpretar un histograma consiste en saber qué se representa en los ejes x e y. En este sentido, resulta útil emplear buenas etiquetas descriptivas. La mayoría de los programas informáticos etiquetan el eje x con el nombre de variable que pusieras al introducir los datos (por ejemplo “edad” o “peso”). Sin embargo, la descripción del eje y no está tan clara. De forma predeterminada, muchos programas informáticos etiquetan el eje y de un histograma con las palabras “frecuencia” o “porcentaje”. Estos términos pueden dar lugar a confusión: ¿frecuencia o porcentaje de qué?

Para que la etiqueta del eje y del histograma sea más clara, cambia “frecuencia” por “número de” y añade el nombre de la variable. Si en la etiqueta pone simplemente “porcentaje”, es mejor que escribas “porcentaje de” seguido de la variable que corresponda. Por ejemplo, en el histograma de la figura 7-1, en el que se representan las edades de varias actrices oscarizadas, como etiqueta del eje y puse “Porcentaje de actrices en cada grupo de edad”. En el apartado siguiente te explico cómo interpretar los resultados a partir de un histograma.

Interpretar un histograma

Un histograma te muestra tres características principales de un conjunto de datos numéricos:

Cómo están distribuidos los datos entre los grupos (lo que en estadística se llama la forma de los datos).

El grado de variabilidad de los datos (en términos estadísticos, el grado de dispersión de los datos).

Dónde está el centro de los datos (para esto los estadísticos utilizan distintas medidas).

Observar la forma de los datos

Una de las características que puedes ver en un histograma es la forma de los datos, o dicho de otro modo: la manera en que los datos se reparten entre los grupos. Por ejemplo, podría ocurrir que todos los datos fueran exactamente iguales, en cuyo caso el histograma consistiría en una única barra; o que hubiera el mismo número de datos en todos los grupos, en cuyo caso el histograma sería plano.

Algunos conjuntos de datos tienen una forma característica. En este sentido, hay tres formas que destacan sobre las demás:

Simétrico. Un histograma es simétrico si al cortarlo por el centro el lado izquierdo es la imagen especular del lado derecho.

La figura 7-2a muestra un conjunto de datos simétrico que representa el tiempo que tardó en responder a una encuesta cada uno de
los 50 encuestados. Como puedes ver, el histograma es casi simétrico.

Sesgado a la derecha. Un histograma sesgado a la derecha se parece a un montículo ladeado con una cola que se extiende hacia la
derecha.

La figura 7-1, que representa las edades de las actrices oscarizadas, está sesgado a la derecha. En el lado derecho puedes ver unas
pocas actrices que son mayores que las demás.

Sesgado a la izquierda. Si un histograma está sesgado a la izquierda, se parece a un montículo ladeado con una cola que se extiende
hacia la izquierda.

La figura 7-2b muestra un histograma de 17 notas de examen. La forma está sesgada a la izquierda; hay unos pocos estudiantes que
sacaron peor nota que todos los demás.

A continuación, algunos consejos para clasificar la forma de un conjunto de datos:

N o esperes que unos datos simétricos den un histograma de forma totalmente exacta. Es muy improbable que los datos se
ajusten perfectamente a una determinada pauta, de manera que te corresponde a ti decidir si la forma observada se acerca lo
suficiente como para decir que es simétrica.

Si la forma se aproxima tanto a la simetría que otra persona también podría notarlo, y las diferencias son poco importantes, yo la
calificaría de simétrica o aproximadamente simétrica. De lo contrario, los datos se consideran no simétricos. (Existen procedimientos
estadísticos más sofisticados que comprueban la simetría de los datos, pero están fuera del alcance de este libro.)

N o des por sentado que los datos están sesgados porque el histograma no tenga forma simétrica. Hay conjuntos de datos de
todas las formas y tamaños, y muchos ni siquiera tienen una forma concreta. Incluyo el sesgo en esta lista porque es una de las formas
no simétricas más comunes, y una de las que suelen incluirse en los cursos de introducción a la estadística.

Si un conjunto de datos resulta estar sesgado (o eso es lo que interpretas), asegúrate de mencionar la dirección del sesgo (a la
izquierda o a la derecha).

Tal y como has visto en la figura 7-1, las edades de las actrices están sesgadas a la derecha. La mayoría de las actrices tenían entre veinte y cincuenta años cuando ganaron el Oscar, y el 27% de ellas estaba en el grupo de edad 30-35. Unas pocas actrices eran más viejas cuando ganaron sus Oscar; aproximadamente el 6% tenía entre sesenta y sesenta y cinco años, y menos del 4% (en total) tenía setenta años o más (si sumas los porcentajes de las dos últimas barras del histograma). Las tres últimas barras son las responsables de que los datos estén sesgados a la derecha.

Medidas de tendencia central: media y mediana

Un histograma te da una idea aproximada de dónde está el “centro” de los datos. La palabra centro está entrecomillada porque existen muchos estadísticos distintos para medir el centro. Las dos medidas de tendencia central más comunes son la media y la mediana. (En el capítulo 5 encontrarás más información sobre las medidas de tendencia central.)

Para visualizar la edad media, piensa que los datos son personas sentadas en un balancín. Tu objetivo es encontrar el punto de equilibrio. Como los datos no cambian de lugar, puedes asumir que las personas permanecen inmóviles y tú desplazas el punto de apoyo (también llamado fulcro) hacia el lado que quieras. La media es el lugar donde debes situar el punto de apoyo para que el peso de los dos lados del balancín esté equilibrado.

El punto de equilibrio del balancín depende del peso de las personas que haya en cada lado, no del número de esas personas. Por lo tanto, la media depende de los valores de los datos, y no de la cantidad de datos.

La mediana es el lugar donde pones el punto de apoyo para tener igual número de personas en cada lado del balancín, con independencia de lo que pesen. Al haber el mismo número de personas en cada lado, el balancín no estaría equilibrado en cuanto a peso, a menos que coincidiera el

peso total de las personas de cada lado. Por lo tanto, la mediana no depende de los valores de los datos, sino exclusivamente de su ubicación en el conjunto de datos.

La media se ve afectada por los valores atípicos, valores que se encuentran en el extremo superior o inferior del conjunto de datos, alejados del resto de los datos. La mediana, que es el número del centro, no se ve afectada por los valores atípicos.

Visualizar la variabilidad: grado de dispersión en torno a la media

El histograma también permite hacerse una idea de la variabilidad de los datos. Por ejemplo, si todos los datos son iguales, estarán todos en la misma barra y no existirá variabilidad. Si en todos los grupos hay el mismo número de datos, el histograma será plano (todas las barras tendrán más o menos la misma altura) y habrá bastante variabilidad.

La idea de que un histograma plano indica cierto grado de variabilidad quizá vaya en contra de tu intuición, y de ser así no eres el único. Si crees que un histograma plano significa que no existe variabilidad, probablemente estés pensando en un cronograma, donde se representan números sueltos a lo largo del tiempo. (Lee el apartado “Tiempo de cronogramas” más adelante en este mismo capítulo.) De todos modos, piensa que un histograma no representa datos a lo largo del tiempo, sino todos los datos existentes en un momento determinado.

Otra cosa que también causa confusión es la idea de que un histograma con una montaña alta en el centro y colas muy inclinadas por ambos lados tiene menos variabilidad que un histograma plano. Las curvas que parecen montañas en un histograma representan grupos de datos que están muy juntos, mientras que en un histograma plano todos los datos presentan el mismo grado de dispersión, con más variabilidad.

La variabilidad en un histograma es mayor cuando las barras más altas están alejadas de la media, y menor cuando las barras más altas están cerca de la media.

Si miras la figura 7-1, verás que muchas de las actrices oscarizadas están en el intervalo de edad 30-35, y la gran mayoría tienen entre veinte y cincuenta años, lo cual implica bastante diversidad. Luego están los valores atípicos, las pocas actrices de más edad (he contado siete) que dispersan aún más los datos, y que hacen aumentar la variabilidad global.

El estadístico más común para medir la variabilidad en un conjunto de datos es la desviación estándar, que, a grandes rasgos, mide el promedio de la distancia que hay entre los datos y la media. La desviación estándar para los datos sobre las edades de las actrices oscarizadas es 11,35 años. (En el capítulo 5 encontrarás más información sobre la desviación estándar.) Una desviación estándar de 11,35 años es bastante grande en el contexto de este problema, pero la desviación estándar se basa en el promedio de distancia respecto de la media, y la media se ve influida por los valores atípicos, de manera que la desviación estándar también. (Hay más información en el capítulo 5.)

Más adelante, en el aparatado “Interpretar un diagrama de cajas”, te hablaré de otra medida de variabilidad llamada rango intercuartílico (RIC), que resulta más adecuada cuando tienes datos sesgados.

Relacionar números y gráficos

No puedes calcular medidas de tendencia central y de variabilidad a partir del propio histograma porque no conoces los valores exactos de los datos. Para añadir detalle a tus resultados, además de crear el histograma debes calcular siempre los estadísticos básicos de tendencia central y de variación (todos los estadísticos descriptivos que necesitas, y algunos más, aparecen en el capítulo 5).

La figura 7-1 es un histograma para las edades de las actrices oscarizadas. Como puedes ver, está sesgado a la derecha. Luego, para la figura 7-3, calculé algunos estadísticos (descriptivos) básicos a partir del conjunto de datos. Si haces las cuentas, comprobarás que la edad mediana es 33 años y la edad media es 35,69 años.

La edad media es más alta que la edad mediana debido a que unas pocas actrices eran algo mayores que las demás cuando fueron premiadas. Por ejemplo, Jessica Tandy ganó el Oscar por su papel en Paseando a Miss Daisy cuando tenía ochenta y un años, y Katharine Hepburn fue galardonada por En el estanque dorado cuando tenía setenta y cuatro. La relación entre la mediana y la media confirma el sesgo (a la derecha) observado en la figura 7-1.

Aquí tienes algunos consejos para relacionar la forma del histograma (según lo explicado en el apartado anterior) con la media y la mediana:

Si el histograma está sesgado a la derecha, la media es mayor que la mediana.

Esto es así porque los datos sesgados a la derecha tienen unos pocos valores altos que suben la media pero no influyen en dónde se
encuentra el centro exacto de los datos (es decir, la mediana). Si miras el histograma de las edades de las actrices oscarizadas, en la
figura 7-1, verás que está sesgado a la derecha.

Si el histograma es casi simétrico, la media y la mediana están muy cerca una de otra.

“Casi simétrico” significa que los dos lados son muy parecidos; no hace falta que sean exactamente iguales. El significado de “casi” y
“cerca” depende del contexto de los datos; por ejemplo, diremos que los números 50 y 55 están cerca si todos los valores están
comprendidos entre 0 y 1.000, pero consideraremos que están más alejados si todos los valores se encuentran entre 49 y 56.

El histograma mostrado en la figura 7-2a es casi simétrico. Tanto la media como la mediana son 3,5.

Si el histograma está sesgado a la izquierda, la media es menor que la mediana.

Esto es así porque los datos sesgados a la izquierda tienen unos pocos valores pequeños que bajan la media pero no influyen en
dónde se encuentra el centro exacto de los datos (es decir, la mediana).

La figura 7-2b representa las notas de examen de 17 alumnos, y los datos están sesgados a la izquierda. Según mis cálculos, la media y la
mediana del conjunto de datos original son 70,41 y 74 respectivamente. La media es menor que la mediana debido a que unos pocos
alumnos sacaron una nota bastante más baja que los demás. Estos resultados concuerdan con la forma general del histograma mostrado
en la figura 7-2b.

Los consejos anteriores para interpretar histogramas también son aplicables a la inversa. Si por alguna razón te falta el histograma de los datos y sólo tienes la media y la mediana, puedes compararlas entre sí para hacerte una idea aproximada de la forma del conjunto de datos.

Si la media es mucho más grande que la mediana, generalmente los datos estarán sesgados a la derecha, y habrá unos pocos valores
más altos que los demás.

Si la media es mucho más pequeña que la mediana, generalmente los datos estarán sesgados a la izquierda, y habrá unos pocos
valores pequeños que bajarán la media.

Si la media y la mediana están muy cerca una de la otra, sabes que los datos estarán bastante equilibrados en ambos lados, es decir,
que serán casi simétricos.

Bajo ciertas condiciones, puedes juntar la media y la desviación estándar para describir un conjunto de datos con bastante detalle. Si los datos presentan una distribución normal (una campana de Gauss con pendientes iguales por ambos lados; está explicada en el capítulo 5), puedes aplicar la regla empírica.

La regla empírica (también descrita en el capítulo 5) dice que si los datos tienen una distribución normal, aproximadamente el 68% de los valores se encuentran a no más de una desviación estándar de la media, aproximadamente el 95% de los valores se encuentran a no más de dos desviaciones estándares de la media, y el 99,7% de los valores se encuentran a no más de tres desviaciones estándares de la media. Estos porcentajes son válidos para la distribución normal (datos con forma de campana) exclusivamente y no pueden aplicarse a conjuntos de datos que tengan otras formas.

Detectar histogramas engañosos

No existen normas fijas para crear un histograma; la persona que elabora el gráfico es quien elige los grupos del eje x y también la escala y los puntos inicial y final del eje y. Sin embargo, el hecho de que exista este margen discrecional no significa que no pueda uno equivocarse; de hecho, un histograma puede inducir a error por muchos motivos. En los siguientes apartados verás ejemplos de histogramas engañosos y cómo detectarlos.

El problema de que haya pocos grupos

Aunque el número de grupos utilizados está a la entera discreción de la persona que elabora el histograma, es posible meter la pata por poner muy pocas barras, en cuyo caso los datos están todos amontonados, o por poner demasiadas barras, en cuyo caso se magnifican hasta las diferencias más pequeñas.

Para decidir cuántas barras debería haber en un histograma, yo me fijo en los grupos utilizados para formar las barras del eje x. Por ejemplo, si un examen se califica sobre 100 puntos, no tiene sentido dividir las notas en grupos de dos puntos (demasiado detalle y, por tanto, demasiadas barras). De igual modo, no tiene sentido agrupar las edades de las actrices en intervalos de veinte años, porque ese criterio no sería suficientemente descriptivo.

Las figuras 7-4 y 7-5 ilustran lo que quiero decir. Cada histograma resume n=222 observaciones del intervalo de tiempo transcurrido entre erupciones del géiser Old Faithful, en el parque de Yellowstone. La figura 7-4 utiliza seis barras que agrupan los datos en segmentos de diez minutos. Este histograma muestra cierto sesgo a la izquierda, pero con 222 observaciones tienes que embutir un montón de datos en sólo seis grupos; por ejemplo, la barra para 75-85 minutos tiene más de 90 elementos de datos. Por tanto, podemos desglosarlo un poco más.

La figura 7-5 es un histograma del mismo conjunto de datos, pero en este caso el tiempo entre erupciones se clasifica en grupos de tres minutos, con lo que resultan 19 barras. En este histograma los datos revelan una pauta clara que no era visible en la figura 7-4. Se observan dos picos en los datos, uno cerca de la marca de cincuenta minutos y el otro cerca de la marca de setenta y cinco minutos. Un conjunto de datos con dos picos se llama bimodal; la figura 7-5 es un ejemplo claro.

Mirando la figura 7-5 puedes concluir que el géiser tiene dos categorías de erupciones; un grupo donde el tiempo de espera entre erupciones es más corto, y otro grupo donde es más largo. Dentro de cada grupo vemos que los datos están bastante cerca del lugar donde se encuentra el pico. Mirando la figura 7-4 no podemos deducir decir tal cosa.

Si el intervalo elegido para los grupos de la variable numérica es muy pequeño, el histograma tendrá demasiadas barras; en ese caso es posible que cueste interpretar los datos porque las alturas de las barras parecerán más variables que lo que deberían. Por el contrario, si los intervalos son muy grandes, habrá muy pocas barras y puede que no detectes alguna pauta interesante en los datos.

Comprobar la escala y los puntos inicial y final

El eje y de un histograma muestra cuántos elementos o individuos hay en cada grupo, para lo cual se utilizan cifras o porcentajes. Un histograma puede inducir a error si la escala y/o los puntos inicial y final del eje y no se han elegido bien.

Fíjate bien en la escala del eje y de un histograma. Si los incrementos son muy grandes y el punto final es mucho más alto de lo necesario, verás un gran espacio en blanco en la parte superior. Las barras estarán comprimidas, de manera que las diferencias de altura parecerán menores de lo que deberían. Si la escala utiliza incrementos muy pequeños y termina en el valor más pequeño posible, las barras se estiran verticalmente, y entonces las diferencias de altura se exageran y parecen mayores de lo que son en realidad.

Por ejemplo, puedes comparar las escalas de los ejes verticales (y) de las figuras 7-5 y 7-6. Cogí los datos del géiser Old Faithful (tiempo transcurrido entre erupciones) y elaboré un histograma con incrementos verticales de veinte minutos, desde 0 hasta 100; mira la figura 7-6. Compara esto con la figura 7-5, donde se utilizan incrementos verticales de cinco minutos, desde 0 hasta 35. La figura 7-6 tiene mucho espacio en blanco y transmite la sensación de que los intervalos de tiempo están distribuidos entre los grupos de manera más uniforme de lo que están en realidad. Además, parece que el conjunto de datos sea más pequeño, a menos que te fijes en lo que pone en el eje y. De los dos gráficos, el de la figura 7-5 es más apropiado.

Diagramas de cajas

Un diagrama de cajas es un gráfico unidimensional de datos numéricos basado en el resumen pentanumérico, que incluye el valor mínimo, el percentil 25 (llamado Q 1 ), la mediana, el percentil 75 (Q 3 ) y el valor máximo. En esencia, estos cinco estadísticos descriptivos dividen el conjunto de datos en cuatro partes, cada una de las cuales contiene el 25% de los datos. (En el capítulo 5 encontrarás una explicación detallada del resumen pentanumérico.)

Elaborar un diagrama de cajas

Para crear un diagrama de cajas, sigue los pasos siguientes:

1. Calcula el resumen pentanumérico de tu conjunto de datos (sigue los pasos indicados en el capítulo 5).

2. Crea una línea de números vertical (u horizontal) cuya escala incluya los números del resumen pentanumérico y utilice unidades adecuadas que guarden la misma distancia entre sí.

3. Marca la posición de cada número del resumen pentanumérico justo encima de la línea de números (para un diagrama de cajas horizontal) o justo a la derecha de la línea de números (para un diagrama de cajas vertical).

4. Dibuja una caja delimitada por las marcas correspondientes al percentil 25 y al percentil 75.

5. Dentro de la caja, dibuja una línea que pase por la marca correspondiente a la mediana.

6. Determina si hay o no valores atípicos.

Para ello, calcula el RIC (restando Q 3 – Q 1 ) y multiplícalo por 1,5. Añade esa cantidad al valor de Q 3 y réstala al valor de Q 1. De este modo obtienes una frontera más amplia en torno a la media que el tamaño de la caja. Los puntos de datos que queden fuera de esta frontera se consideran valores atípicos.

7. Si no hay valores atípicos (según los resultados del paso 6), dibuja líneas desde los lados superior e inferior de la caja hasta los valores máximos y mínimos del conjunto de datos.
8. Si hay valores atípicos (según los resultados del paso 6), indica su ubicación en el diagrama mediante asteriscos. E n lugar de dibujar una línea desde la caja hasta el valor atípico más extremo, interrumpe la línea en el último valor de datos que no sea un valor atípico.

Muchos paquetes de software (si no la mayoría) señalan los valores atípicos de un conjunto de datos por medio de asteriscos y utilizan el procedimiento descrito en el paso 6 para identificar estos valores atípicos. De todos modos, en algunos casos no se utilizan estos símbolos y procedimientos. Comprueba qué hace tu paquete de software antes de analizar unos datos con un diagrama de cajas.

La figura 7-7 muestra un diagrama de cajas horizontal para las edades de las actrices premiadas con un Oscar entre 1928 y 2009. Como puedes ver, los números que separan las secciones del diagrama de cajas coinciden con los estadísticos del resumen pentanumérico indicados en la figura 7-3.

Los diagramas de cajas pueden ser verticales, en cuyo caso los valores del eje van de abajo (el más pequeño) arriba (el más grande), o pueden ser horizontales, en cuyo caso los valores del eje van de izquierda (el más pequeño) a derecha (el más grande). En el siguiente apartado te explico la manera de interpretar un diagrama de cajas.

Interpretar un diagrama de cajas

Igual que un histograma (lee el apartado “Interpretar un histograma”), un diagrama de cajas puede darte información sobre la forma, el centro y la variabilidad de un conjunto de datos. Los diagramas de cajas difieren de los histogramas en cuanto a sus puntos fuertes y débiles, como verás en los siguientes apartados, pero una de sus mayores ventajas es la forma de tratar los datos sesgados.

Observar la forma con cuidado

Un diagrama de cajas puede indicar si un conjunto de datos es simétrico (si lo cortas por el centro, los dos lados son aproximadamente iguales) o está sesgado (inclinado hacia un lado). Si el conjunto de datos es simétrico, la mediana se encuentra más o menos en el centro de la caja. Si los

datos están sesgados, el diagrama de cajas es desigual (la mediana divide la caja en dos partes de distinto tamaño). Si la parte más larga de la caja está a la derecha (o encima) de la mediana, se dice que los datos están sesgados a la derecha. Si la parte más larga está a la izquierda (o debajo) de la mediana, los datos están sesgados a la izquierda.

Como puedes ver en el diagrama de cajas de la figura 7-7, las edades están sesgadas a la derecha. La parte de la caja que queda a la izquierda de la mediana (la que representa a las actrices más jóvenes) es más corta que la parte de la caja que queda a la derecha de la mediana (la que representa a las actrices de más edad). Esto significa que las edades de las actrices más jóvenes están más cerca unas de otras que las edades de las actrices más viejas. La figura 7-3 muestra los estadísticos descriptivos de los datos y confirma el sesgo a la derecha: la edad mediana (33 años) es menor que la edad media (35,69 años).

Que un lado de la caja sea más largo que el otro no significa que contenga más datos. De hecho, no puedes saber el tamaño de la muestra con sólo mirar un diagrama de cajas (se basa en porcentajes, no en cifras). Pase lo que pase, cada sección del diagrama de cajas (desde el mínimo hasta Q 1 , desde Q 1 hasta la mediana, desde la mediana hasta Q 3 , y desde Q 3 hasta el máximo) contiene el 25% de los datos. Si una de las secciones es más larga que otra, significa que el rango de los valores de los datos en esa sección es mayor (es decir, los datos están más dispersos). Una sección más pequeña indica que los datos están más condensados (más cerca unos de otros).

Aunque un diagrama de cajas te permite saber si un conjunto de datos es simétrico (cuando la mediana está en el centro de la caja), no puede decirte la forma de la simetría (en cambio, un histograma sí puede). Por ejemplo, la figura 7-8 muestra histogramas de dos conjuntos de datos diferentes, cada uno con 18 valores que varían entre el 1 y el 6. El histograma de la izquierda tiene el mismo número de valores en todos los grupos, mientras que el de la derecha presenta dos picos en el 2 y en el 5. Ambos histogramas revelan que los datos son simétricos, pero sus formas son claramente diferentes.

La figura 7-9 muestra los diagramas de cajas correspondientes a esos dos conjuntos de datos. Como puedes ver, son exactamente iguales. La razón es que ambos conjuntos de datos tienen los mismos resúmenes pentanuméricos (los dos son simétricos y presentan la misma distancia entre Q 1 , la mediana y Q 3 ). Sin embargo, si sólo vieras los diagramas de cajas y no los histogramas, podrías pensar que los dos conjuntos de datos tienen la misma forma, cuando no es así en absoluto.

A pesar de que no te dice el tipo de simetría (puedes añadir un histograma a tus análisis para suplir esa carencia), un diagrama de cajas tiene una gran ventaja, y es que te permite identificar directamente las medidas de dispersión y de tendencia central (mientras que un histograma no te lo permite). Además, los diagramas de cajas van bien para comparar conjuntos de datos representándolos en el mismo gráfico, uno al lado del otro.

Todos los gráficos tienen sus ventajas y sus desventajas; por eso siempre es buena idea representar los datos de varias formas distintas.

Medir la variabilidad con el RIC

El rango intercuartílico (RIC) mide la variabilidad en un conjunto de datos descrito por el resumen pentanumérico. El RIC es igual a Q 3 – Q 1 , la diferencia entre el percentil 75 y el percentil 25 (la distancia ocupada por el 50% central de los datos). Cuanto mayor es el RIC, más variable es el conjunto de datos.

Si miramos la figura 7-3, la variabilidad en la edad de las actrices premiadas con un Oscar, medida por el RIC, es Q 3 – Q 1 =39–28=11 años. Del grupo de actrices cuyas edades estaban más cerca de la mediana, la mitad tenían edades que no diferían en más de once años entre ellas cuando fueron galardonadas.

Observa que el RIC no tiene en cuenta los datos situados por debajo del percentil 25 ni por encima del percentil 75, los cuales podrían incluir valores atípicos que a su vez podrían incrementar la medida de variabilidad del conjunto de datos entero. Por tanto, si los datos están sesgados, el RIC es una medida de variabilidad más adecuada que la desviación estándar.

Determinar el centro usando la mediana

La mediana, un elemento del resumen pentanumérico, se representa con la línea que divide la caja en el diagrama de cajas, de manera que resulta muy fácil de identificar. La media, sin embargo, no forma parte del diagrama de cajas y no puede determinarse de forma precisa con sólo mirar el diagrama.

El diagrama de cajas no muestra la media porque está basado totalmente en percentiles. Si los datos están sesgados, la mediana es la medida de tendencia central más adecuada. Naturalmente, puedes calcular la media aparte y añadirla a tus resultados. Nunca está de más indicar ambos estadísticos.

Pesquisas sobre el diagrama de cajas de un géiser

La figura 7-10 muestra los estadísticos descriptivos relevantes para el géiser Old Faithful.

A partir de este conjunto de datos, puedes predecir que la forma estará un poco sesgada a la izquierda porque la media es más baja que la mediana (aproximadamente cuatro minutos menos). El RIC es Q 3 – Q 1 =81–60=21 minutos, que es la variabilidad global en el tiempo transcurrido entre erupciones (el 50% de las erupciones están separadas entre sí por un lapso de veintiún minutos).

La figura 7-11 muestra un diagrama de cajas vertical para el tiempo transcurrido entre erupciones del géiser Old Faithful. Se confirma que los datos están sesgados a la izquierda porque la parte de abajo de la caja (donde están los valores pequeños) es más larga que la parte superior.

En el diagrama de cajas de la figura 7-11 puedes ver los valores que marcan el resumen pentanumérico y la información mostrada en la figura 7-10, incluido el de 21 minutos para medir la variabilidad. El centro, marcado por la mediana, es 75 minutos. Esta medida de tendencia central es preferible a la media (71 minutos), la cual baja un poco como consecuencia del sesgo a la izquierda de los valores (unos pocos intervalos de tiempo entre erupciones son más cortos que los demás).

Verás que en el diagrama (figura 7-11) no hay valores atípicos señalados con asteriscos. Sin embargo, date cuenta de que el diagrama de cajas no adopta la forma bimodal de los datos que aparece representada en la figura 7-5. Para eso necesitas un buen histograma.

Indicar los valores atípicos

Si miras el diagrama de cajas de la figura 7-7 para las edades de las actrices premiadas con un Oscar, encontrarás varios valores atípicos (siete en total) en el lado derecho del conjunto de datos, identificados con sendos asteriscos (tal y como se indica en el paso 8 del apartado anterior, “Elaborar un diagrama de cajas”). Tres de los asteriscos están apilados porque tres actrices tenían la misma edad, sesenta y un años, cuando fueron galardonadas.

Puedes verificar estos valores atípicos aplicando la regla descrita en el paso 6 del apartado “Elaborar un diagrama de cajas”. El RIC es 11 (según se indica en la figura 7-3), de manera que coges 11×1,5=16,5 años. Al añadir esa cantidad a Q 3 resulta 39+16,5=55,5 años; y al restarla de Q 1 resulta 28–16,5=11,5 años. Por tanto, las actrices que tuvieran menos de 11,5 años (es decir, once años de edad o menos) o más de 55,5 años (es decir, cincuenta y seis años de edad o más) se consideran valores atípicos.

Por supuesto, el extremo inferior de esta frontera (11,5 años) no es relevante porque la actriz más joven galardonada tenía veintiún años (la figura 7-3 muestra que el mínimo es 21). Así pues, sabes que no hay ningún valor atípico en el extremo inferior de este conjunto de datos.

No obstante, sí hay siete valores atípicos en el extremo superior del conjunto de datos, donde se encuentran las actrices de cincuenta y seis años de edad o más. La tabla 7-2 muestra la información de los siete valores atípicos que hay en el conjunto de datos de las edades de actrices premiadas con un Oscar.

El más bajo de los valores atípicos es sesenta años de edad (los que tenía Katharine Hepburn en 1967). Sólo para comparar, la siguiente edad más joven del conjunto de datos es cuarenta y nueve años (Susan Sarandon, 1995). Esto indica un salto claro en este conjunto de datos.

Errores que pueden cometerse al interpretar un diagrama de cajas

Un error común consiste en asociar el tamaño de la caja y la cantidad de datos del conjunto. Recuerda que cada una de las cuatro secciones representadas en el diagrama de cajas contiene el mismo porcentaje (25%) de los datos. El diagrama simplemente marca los lugares que separan esas secciones.

En particular, si la mediana divide la caja en dos partes no iguales, los datos de la parte más grande son más variables que los de la otra parte (en lo que se refiere al rango de los valores). Sin embargo, sigue habiendo la misma cantidad de datos (25%) en la parte más grande y en la parte más pequeña de la caja.

Otro error común tiene que ver con el tamaño de la muestra. Un diagrama de cajas es un gráfico unidimensional con un solo eje que representa la variable que se está midiendo. No hay un segundo eje que te diga cuántos puntos de datos hay en cada grupo. Así pues, si ves dos diagramas de cajas uno al lado del otro, y uno de ellos tiene una caja muy larga y el otro una caja muy pequeña, no deduzcas que la más larga contiene más

datos. La longitud de la caja representa la variabilidad de los datos, no el número de valores de datos.

Cuando analices o crees un diagrama de cajas, asegúrate siempre de que en el título se mencione siempre el tamaño de la muestra (n). Si no te lo dan, no es posible saberlo de otro modo.

Tiempo de cronogramas

Un cronograma (también llamado gráfico de línea temporal) es una forma de presentación visual utilizada para buscar tendencias en datos distribuidos a lo largo del tiempo (también llamados datos de una serie cronológica). Los cronogramas muestran el tiempo en el eje x (por ejemplo por meses, años o días) y los valores de la variable medida en el eje y (tasas de natalidad, cifra total de ventas, tamaño de la población, etc.). Cada punto del cronograma resume todos los datos recopilados en ese momento en concreto; por ejemplo, el promedio de todos los precios de la pimienta en el mes de enero o los beneficios totales de 2010.

Interpretar cronogramas

Para interpretar un cronograma, busca pautas y tendencias recorriendo el gráfico de izquierda a derecha.

El cronograma de la figura 7-12 muestra las edades de las actrices premiadas con un Oscar desde 1928 hasta 2009, ordenadas por año. Cada punto indica la edad de una actriz, la que ganara el Oscar ese año. Se observa una pauta cíclica a lo largo del tiempo; es decir, las edades aumentan y disminuyen una y otra vez con cierta regularidad. Es difícil decir qué puede estar pasando: hay muchas variables que intervienen en la elección de la actriz ganadora, por ejemplo el tipo de película, el tipo de papel, el estado de ánimo de los votantes, etc., y algunas de estas variables también podrían seguir una pauta cíclica.

En la figura 7-12 también se observa una levísima pauta alcista, lo cual indicaría que las actrices ganan el Oscar a una edad cada vez mayor. Igual que antes, yo no haría demasiadas suposiciones a partir de este resultado porque los datos presentan un alto grado de variabilidad.

Y ya que hablamos de variabilidad, observa que las edades representadas por los puntos fluctúan bastante en el eje y (que representa la edad); todos los puntos están comprendidos entre veinte y ochenta años, y la mayoría entre veinticinco y cuarenta y cinco años, diría yo. Esto concuerda con los estadísticos descriptivos mostrados en la figura 7-3.

Comprender la variabilidad: cronogramas e histogramas

No hay que confundir la variabilidad en un histograma con la variabilidad en un cronograma. Si los valores cambian con el tiempo, en un cronograma se representan como puntos altos y bajos, y muchos cambios de alto a bajo (a lo largo del tiempo) indican mucha variabilidad. Por tanto, una línea plana en un cronograma indica que no hay cambios ni variabilidad en los valores a lo largo del tiempo. Por ejemplo, si el precio de un producto permanece invariable durante doce meses seguidos, el cronograma correspondiente sería plano.

Pero si todas las barras de un histograma tienen la misma altura, o muy parecida, significa que los datos están uniformemente distribuidos entre todos los grupos, lo cual indica una gran variabilidad en los datos (encontrarás un ejemplo en la figura 7-2a).

Detectar cronogramas engañosos

Igual que con todos los gráficos, tienes que evaluar las unidades de los números representados. Por ejemplo, resultaría engañoso mostrar en un cronograma el número de delitos cometidos, en lugar de la tasa de delincuencia (delitos por habitante). Como el número de habitantes de una ciudad cambia con el tiempo, la tasa de delincuencia es la medida adecuada. Asegúrate de entender qué números se están representando y comprueba si son imparciales y correctos.

Comprobar la escala, el punto inicial y el punto final

La escala del eje vertical influye mucho en el aspecto del cronograma. La figura 7-12 muestra el cronograma original de las edades de las actrices que recibieron un Oscar entre 1928 y 2009, clasificadas en incrementos de diez años. Como hemos comentado antes, se observa bastante variabilidad.

En la figura 7-12, el punto inicial y el punto final del eje vertical son 0 y 100, respectivamente, con lo cual se crea algo más de espacio en blanco en la parte superior e inferior del gráfico. También podría haber utilizado 10 y 90 como puntos inicial y final, pero este gráfico me pareció razonable.

Pero ¿qué pasaría si cambiara el eje vertical? La figura 7-13 muestra los mismos datos pero con el punto inicial en 20 y el punto final en 80. Los incrementos de diez años parecen más largos que los mismos incrementos de diez años de la figura 7-12. Estos dos cambios en el gráfico exageran las diferencias en las edades.

¿Cómo decidir qué gráfico es el idóneo para los datos que tienes? No existe el gráfico perfecto, así que no hay una respuesta correcta o incorrecta, pero sí existen límites. Para detectar rápidamente posibles problemas, fíjate en la escala y en los puntos inicial y final.

Simplificar el exceso de datos

La figura 7-14 muestra un cronograma del tiempo transcurrido entre erupciones del géiser Old Faithful. Este gráfico contiene 222 puntos, cada uno de los cuales representa el tiempo transcurrido entre una erupción y la siguiente, para todas las erupciones ocurridas durante un período de dieciséis días.

Esta figura es muy compleja; está repleta de datos y hay demasiados puntos para distinguir nada. Es como cuando los árboles no te dejan ver el bosque. Como ves, el exceso de información puede ser un problema, sobre todo hoy en día, cuando podemos medir los datos de forma continua utilizando las tecnologías más avanzadas. Me jugaría cualquier cosa a que no tenían a un estudiante de pie junto al géiser anotando en un cuaderno los tiempos transcurridos entre erupciones.

Para tener una imagen más clara de los datos sobre el géiser Old Faithful, combiné todas las observaciones de un único día y calculé la media; repetí esta operación para los dieciséis días y luego representé todas las medias ordenadas en un cronograma. De este modo los puntos de datos pasaron de 222 a 16. El cronograma se muestra en la figura 7-15.

En este cronograma observo una pauta cíclica en los datos: cada día o dos parece que el tiempo entre erupciones aumenta. Aunque estos cambios no son definitivos, sí proporcionan información importante que los científicos pueden tener en cuenta para estudiar el comportamiento de géiseres como el Old Faithful.

Un cronograma condensa en un solo punto todos los datos correspondientes a una unidad de tiempo, mientras que un histograma representa la muestra entera de datos recopilados en esa unidad de tiempo. Por ejemplo, la figura 7-15 muestra el tiempo medio diario transcurrido entre erupciones durante dieciséis días. Para cualquier día, puedes elaborar un histograma de todas las erupciones observadas en ese día en concreto. La combinación perfecta sería mostrar un cronograma de los tiempos medios a lo largo de dieciséis días junto con un histograma que resumiera todas las erupciones de un día en concreto.

Evaluar cronogramas

Aquí tienes una lista de control para evaluar cronogramas, con algún comentario añadido:

Fíjate en las distancias en la línea temporal de un cronograma. Por ejemplo, resulta engañoso que los puntos del eje horizontal (eje
temporal) correspondientes a los años 1990, 2000, 2005 y 2010 aparezcan todos separados por la misma distancia. Esto ocurre
cuando los años se tratan como simples etiquetas, en lugar de como números reales.

Si tienes una cantidad de datos enorme, plantéate reducirla calculando medias/ medianas para bloques de tiempo y mostrando en el
gráfico esas medias/medianas en lugar de todos los datos.

Fíjate en la escala, y en los puntos inicial y final del eje vertical (el que muestra los valores de los datos).Si los incrementos son muy
grandes o hay mucho espacio en blanco, las diferencias parecen menores de lo que son en realidad, y a la inversa: si los incrementos
son pequeños o el gráfico ocupa todo el espacio, las diferencias están exageradas.

Como con cualquier otro gráfico, ten muy en cuenta las unidades; asegúrate de que son las adecuadas para realizar comparaciones a
lo largo del tiempo. Por ejemplo, ¿las cantidades en unidades monetarias se han ajustado para tener en cuenta la inflación? ¿El gráfico
muestra el número de delitos o la tasa de delincuencia?

En esta parte…

Los estadísticos estudian poblaciones; es el pan nuestro de cada día. Hay que medir, contar o clasificar características de una población (utilizando variables aleatorias), encontrar probabilidades y proporciones, y crear (o estimar) resúmenes numéricos para esa población (es decir, parámetros de la población). A veces sabes muchas cosas de una población desde el principio, y otras veces la visión es menos clara. En esta parte consideraremos ambas situaciones.

Si una población se corresponde con una determinada distribución, hay herramientas disponibles para estudiarla. En los capítulos 8, 9 y 10 verás tres distribuciones comúnmente utilizadas: la distribución binomial (para datos categóricos) y la distribución normal y la distribución t (para datos numéricos).

Si no conoces los datos concretos de una población (cosa que ocurre continuamente), tomas una muestra y extrapolas los resultados a toda la población. Sin embargo, los resultados de las muestras varían, y eso debes tenerlo en cuenta. En el capítulo 11 investigarás la variabilidad de las muestras, medirás la precisión de los resultados de una muestra y calcularás probabilidades. A partir de ahí podrás estimar parámetros y verificar las afirmaciones realizadas sobre esos parámetros, pero eso ya será en otra parte (la IV, para ser exactos).