Variables aleatorias y la distribución binomial

En este capítulo

Identificar una variable aleatoria binominal

Encontrar probabilidades utilizando una fórmula o una tabla

Calcular la media y la variancia

Los científicos y los ingenieros suelen construir modelos de los fenómenos que están estudiando para realizar predicciones y tomar decisiones. Por ejemplo, ¿cuándo y dónde va a tocar tierra este huracán? ¿Cuántos accidentes ocurrirán este año en este cruce si no lo remodelan? ¿Cuál será la población de ciervos en una determinada región dentro de cinco años?

Para contestar a estas preguntas, los científicos (que generalmente colaboran con estadísticos) definen una característica que estén midiendo o contando (por ejemplo el número de cruces, el lugar y el momento en que un huracán toca tierra, el tamaño de la población, etc.) y la tratan como una variable que cambia de forma aleatoria, siguiendo cierta pauta. Estas variables se llaman (lo has adivinado) variables aleatorias. En este capítulo te hablaré sobre las variables aleatorias, sus tipos y características, y por qué son importantes. Y también examinaremos con detalle una de las variables aleatorias más comunes: la binomial.

Definir una variable aleatoria

Una variable aleatoria es una característica, una medida o una cifra de recuento que cambia aleatoriamente dentro de un determinado conjunto o con arreglo a una determinada pauta. Su notación es X, Y, Z, etc. En este apartado verás cómo se caracterizan diferentes variables aleatorias y cómo se comportan a largo plazo en lo que se refiere a sus medias y desviaciones estándares.

En matemáticas existen variables como X e Y que adoptan ciertos valores en función del problema concreto (por ejemplo, determinar la amplitud de un rectángulo), pero en estadística las variables cambian de forma aleatoria. En estadística, el término “aleatorio” significa que no sabes exactamente cuál será el siguiente resultado, pero sí sabes que ciertos resultados ocurren con más frecuencia que otros; la probabilidad de que ocurra algo y de que no ocurra no es la misma (es como cuando yo tiro un rato a canasta; claramente la probabilidad de que enceste no es el 50% y la de que falle no es el 50%. Más bien la probabilidad de acertar es el 5% y la de fallar, el 95%). Esta información puede utilizarse para estudiar mejor datos y poblaciones y para tomar decisiones correctas (por ejemplo, no me pidas que lance yo los tiros libres en tu equipo).

Hay que distinguir entre datos categóricos y datos numéricos (se explica en el capítulo 4). Aunque ambos tipos de datos están asociados a variables aleatorias, yo me referiré exclusivamente a las variables aleatorias numéricas (es lo habitual en la mayoría de los cursos de introducción a la estadística). Para más información sobre análisis de variables categóricas, consulta los capítulos 6 y 19.

Discreto y continuo

Las variables aleatorias numéricas representan cifras y mediciones. Las hay de dos tipos: discretas o continuas, según el tipo de resultados posibles.

Variables aleatorias discretas. Si los resultados posibles de una variable aleatoria pueden enumerarse utilizando números enteros
(por ejemplo 0, 1, 2... 10; o 0, 1, 2, 3), la variable aleatoria es discreta.

Variables aleatorias continuas. Si los resultados posibles de una variable aleatoria únicamente pueden describirse utilizando un
intervalo de números reales (por ejemplo, todos los números reales desde 0 hasta infinito), la variable aleatoria es continua.

Las variables aleatorias discretas generalmente representan cifras de recuento, por ejemplo el número de personas que votaron sí a la prohibición de fumar entre una muestra aleatoria de 100 personas (los valores posibles son 0, 1, 2 … 100); o el número de accidentes ocurridos en un determinado cruce a lo largo de un año (los valores posibles son 0, 1, 2…).

Las variables aleatorias discretas pueden ser de dos clases: finitas o infinitas numerables. Una variable aleatoria discreta es finita si la lista de valores posibles tiene un número fijo (finito) de elementos (por ejemplo, el número de personas que apoyan la prohibición de fumar en una muestra aleatoria de 100 votantes debe estar comprendido entre 0 y 100). Una variable aleatoria finita muy común es la binomial, que se

comenta con detalle en este mismo capítulo.

Una variable aleatoria discreta es infinita numerable si sus valores posibles pueden enumerarse pero no tienen un final concreto. Por ejemplo, el número de accidentes ocurridos en un determinado cruce a lo largo de un período de diez años puede adoptar los valores siguientes: 0, 1, 2… (sabes que la lista termina en algún momento pero no sabes cuándo, así que incluyes todos los números).

Las variables aleatorias continuas generalmente representan mediciones, por ejemplo el tiempo necesario para completar una tarea (un minuto y diez segundos, un minuto y veinte segundos, etc.) o el peso de un recién nacido. Lo que separa las variables aleatorias continuas de las discretas es que las primeras son infinitas no numerables: tienen demasiados valores posibles como para enumerarlos o contarlos y/o pueden medirse con un alto grado de precisión (por ejemplo el grado de contaminación atmosférica de una ciudad concreta en un determinado día, medido en partes por millón).

En el capítulo 9 (la distribución normal) y el capítulo 10 (la distribución t) encontrarás ejemplos de variables aleatorias continuas comúnmente utilizadas.

Distribuciones de probabilidad

Una variable aleatoria discreta X tiene un conjunto definido de valores posibles, cada uno de los cuales tiene una determinada probabilidad de ocurrir. La notación empleada para cualquier resultado específico es una x minúscula. Pongamos por caso que lanzas un dado y miras el resultado. La variable aleatoria X es el número que salga en el dado (los valores posibles son 1, 2… 6). Si lanzas el dado y te sale un 1, eso es un resultado específico, de manera que escribes “x=1”.

La probabilidad de que ocurra cualquier resultado específico se designa como p (x), leído “p de x”. De este modo se indica que la probabilidad de la variable aleatoria X adopta un valor específico, llamado “x minúscula”. Por ejemplo, para referirnos a la probabilidad de sacar un 1 en el dado, escribiremos p (1).

Los estadísticos utilizan una X mayúscula para referirse a variables aleatorias en su forma general; por ejemplo “Supongamos que X es el resultado de lanzar un solo dado”. La x minúscula se utiliza para referirse a resultados específicos de la variable aleatoria, como x=1 o x=2.

Una lista o función que muestra todos los valores posibles de una variable aleatoria discreta, junto con sus probabilidades, se denomina distribución de probabilidad, p (x). Por ejemplo, si lanzas un solo dado, los resultados posibles son 1, 2, 3, 4, 5 y 6, y cada uno de ellos tiene una probabilidad de 1 ⁄ 6 (si el dado no está trucado). Otro ejemplo: imagina que el 40% de los inquilinos de un complejo de apartamentos tiene un perro, el 7% tiene dos perros, el 3% tiene tres perros y el 50% tiene cero perros. Siendo X=el número de perros que tiene un inquilino, la tabla 8- 1 muestra la distribución de probabilidad para X.

La media y la variancia de una variable aleatoria discreta

La media de una variable aleatoria es el promedio de todos los resultados que cabe esperar a largo plazo (para todas las muestras posibles). Por ejemplo, si lanzas un dado mil millones de veces y anotas los resultados, el promedio de esos resultados es 3,5 (cada resultado tiene la misma probabilidad de salir, de manera que calculas el promedio de los números 1 a 6 y te da 3,5). Sin embargo, si el dado está trucado y el 1 sale más veces que el resto de los números, el resultado promedio de mil millones de tiradas estará más cerca de 1 que de 3,5.

La notación para la media de una variable aleatoria X es μx o μ (se lee “mu sub x”, o simplemente “mu x”). Puesto que estás considerando los resultados a largo plazo, es lo mismo que buscar la media de una población entera de valores, y por eso se escribe μx y no (este símbolo representa la media de una muestra de valores [lee el capítulo 5]). Ponemos la X en el subíndice para recordar que la variable a la que pertenece esa media es la variable X (a diferencia de una variable Y o cualquier otra letra).

La variancia de una variable aleatoria es el promedio de los cuadrados de las desviaciones de todos los resultados que obtendrías a largo plazo respecto de la media aritmética de la población, para cada una de las muestras posibles. Esto es lo mismo que la variancia de la población formada por todos los valores posibles. La notación de la variancia de una variable aleatoria X es σx^2 o σ^2 (se lee “sigma sub x al cuadrado” o simplemente “sigma al cuadrado”).

La desviación estándar de una variable aleatoria X es la raíz cuadrada de la variancia y se designa como σx o como σ (“sigma x” o simplemente “sigma”). Más o menos representa el promedio de la desviación respecto de la media.

Igual que ocurre con la media, para designar la variancia y la desviación estándar de una variable aleatoria utilizamos la notación griega. Las notaciones s^2 y s representan la variancia y la desviación estándar de una muestra de elementos, no de la población entera (está explicado en el capítulo 5).

La variancia está en unidades cuadradas, de manera que no puede interpretarse fácilmente. Para la interpretación se utiliza la desviación estándar porque está en las unidades originales de X. La desviación estándar puede interpretarse de manera aproximada como el promedio de la desviación respecto de la media.

Identificar una variable binomial

La variable aleatoria discreta más conocida y estimada es la variable binomial. “Binomial”, o “binómico”, significa “que tiene dos nombres”, y se asocia a situaciones en que existen dos resultados; por ejemplo sí/no, o éxito/fracaso (encontrar un semáforo en rojo o no, desarrollar un efecto secundario o no). Este apartado trata sobre la variable aleatoria binomial: cuándo se utiliza, cuál es su probabilidad y cómo se encuentra su media y su variancia.

Una variable aleatoria es binomial (es decir, tiene una distribución binomial) cuando se cumplen las cuatro condiciones siguientes:

1. Hay un número fijo de intentos (n).
2. Cada intento tiene dos resultados posibles: éxito o fracaso.
3. La probabilidad de éxito (la llamaremos p) es la misma en cada intento.
4. Los intentos son independientes, es decir, el resultado de un intento no influye en el resultado de los demás. Siendo X el número total de éxitos en n intentos; si se cumplen las cuatro condiciones, X tiene una distribución binomial con una probabilidad de éxito (en cada intento) igual a p.

La p minúscula es la probabilidad de obtener un resultado de éxito en un único intento. No es lo mismo que p(x), que significa la probabilidad de obtener x éxitos en n intentos.

Comprobar paso a paso las condiciones de distribución binomial

Lanzas una moneda al aire 10 veces y cuentas el número de caras (X). ¿X tiene una distribución binomial? Para comprobarlo, comprueba las respuestas a las preguntas y afirmaciones de la siguiente lista:

1. ¿Hay un número fijo de intentos?

Lanzas la moneda 10 veces, que es un número fijo. La condición 1 se cumple, y n=10.

2. ¿Cada intento tiene solamente dos resultados posibles, éxito o fracaso?

El resultado de cada lanzamiento es cara o cruz, y tú estás interesado en contar el número de caras. Por lo tanto, éxito=cara, y fracaso=cruz.
La condición 2 se cumple.

3. ¿La probabilidad de éxito es la misma en cada intento?

Si damos por sentado que la moneda no está trucada, la probabilidad de éxito (que salga cara) es p=½ para cada intento. También sabes
que 1–½=½ es la probabilidad de fracaso (que salga cruz) para cada intento. La condición 3 se cumple.

4. ¿Los intentos son independientes?

Partimos de que la moneda se lanza siempre de la misma forma, de manera que el resultado de un lanzamiento no afecta al resultado de los
lanzamientos posteriores. La condición 4 se cumple.

Como la variable aleatoria X (el número de éxitos [caras] que ocurren en diez intentos [lanzamientos]) cumple las cuatro condiciones, concluimos que tiene una distribución binomial con n=10 y p=½.

Sin embargo, no todas las situaciones que parecen binomiales lo son en realidad. A continuación pongo algunos ejemplos que ilustran lo que quiero decir.

El número de intentos no es fijo

Supón que vas a lanzar una moneda no trucada hasta que te salgan cuatro caras y vas a contar el número de lanzamientos que tardas en conseguirlo; en este caso X=número de lanzamientos. Sin duda, esto parece una situación binomial: la condición 2 se cumple porque tienes éxito

conseguirlo; en este caso X=número de lanzamientos. Sin duda, esto parece una situación binomial: la condición 2 se cumple porque tienes éxito (cara) y fracaso (cruz) en cada lanzamiento; la condición 3 se cumple, ya que la probabilidad de éxito (cara) es la misma (0,5) para cada lanzamiento; y además los lanzamientos son independientes, con lo que se cumple la condición 4.

Sin embargo, X no cuenta el número caras, sino el número de intentos necesarios para que salgan cuatro caras en total. Lo que es fijo es el número de éxitos (X), y no el número de intentos (n). La condición 1 no se cumple, de manera que X no tiene una distribución binomial en este caso.

Hay más resultados, aparte de éxito o fracaso

En algunas situaciones que parecen binomiales, en realidad hay más de dos resultados posibles. Por ejemplo, supongamos que lanzas un dado 10 veces y X es el resultado de cada lanzamiento (1, 2, 3… 6). Tienes una serie de n=10 intentos, dichos intentos son independientes y la probabilidad de cada resultado es la misma en todos los lanzamientos. No obstante, cada vez estás anotando el resultado de lanzar un dado de seis caras, un número del 1 al 6. Ésta no es una situación de éxito/fracaso, de manera que la condición 2 no se cumple.

Sin embargo, según lo que estés anotando, situaciones que originalmente tienen más de dos resultados pueden entrar en la categoría de binomiales. Por ejemplo, si lanzas un dado 10 veces y cada vez anotas si sale o no sale un uno, entonces la condición 2 se cumple porque los dos resultados de interés son que salga un uno (“éxito”) y que no salga un uno (“fracaso”). En este caso p (la probabilidad de éxito)=1 ⁄ 6, y 5 ⁄ 6 es la probabilidad de fracaso. Por tanto, si X es contar el número de unos que te salen en 10 lanzamientos, X es una variable aleatoria binomial.

Los intentos no son independientes

La condición de independencia se incumple cuando el resultado de un intento afecta a otro intento. Imagina que quieres conocer la opinión de las personas adultas de tu ciudad acerca de un casino que podría abrirse en el futuro. En lugar de coger una muestra aleatoria de, pongamos, 100 personas, para ahorrar tiempo seleccionas a 50 matrimonios y preguntas a todo el mundo cuál es su opinión. En este caso es razonable decir que los matrimonios tienen una probabilidad mayor de coincidir en sus opiniones que otras personas seleccionadas al azar, de manera que la condición de independencia 4 no se cumple.

La probabilidad de éxito (p) varía

Tienes diez personas (seis mujeres y cuatro hombres) y quieres formar un comité de dos personas elegidas al azar. X es el número de mujeres en ese comité de dos personas. La probabilidad de elegir una mujer al azar en el primer intento es 6 ⁄ 10. Como no puedes seleccionar esa mujer otra vez, la probabilidad de seleccionar otra mujer es ahora 5 ⁄ 9. El valor de p ha cambiado, y la condición 3 no se cumple.

Si la población es muy grande (por ejemplo todos los europeos mayores de edad), p igualmente cambia cada vez que eliges a alguien, pero este cambio es tan insignificante que no se tiene en cuenta. Igualmente decimos que los intentos son independientes y la probabilidad de éxito, p, no varía (así la vida es mucho más sencilla).

Encontrar probabilidades binomiales utilizando una fórmula

Una vez que hayas identificado que X tiene una distribución binomial (se cumplen las cuatro condiciones del apartado “Comprobar paso a paso las condiciones de distribución binomial”), posiblemente quieras conocer las probabilidades de X. La buena noticia es que no tienes que empezar desde cero: puedes utilizar unas fórmulas establecidas para encontrar probabilidades binomiales utilizando los valores de n y p propios de cada problema. Las probabilidades de una variable aleatoria binomial X pueden encontrarse utilizando la siguiente fórmula para p(x): donde:

n es el número fijo de intentos.

x es el número especificado de éxitos.

n–x es el número de fracasos.

p es la probabilidad de éxito en un intento cualquiera.

1 – p es la probabilidad de fracaso en un intento cualquiera. (Nota: en algunos libros de texto se utiliza la letra q para designar la
probabilidad de fracaso, en lugar de 1–p.) Estas probabilidades son ciertas para cualquier valor de X entre 0 (el número más pequeño
de éxitos posibles en n intentos) y n (el número más grande de éxitos posibles).

El número de maneras en que pueden obtenerse x éxitos en n intentos se llama “n sobre x”, y la notación matemática es. Es importante señalar que esta expresión matemática no es una fracción, sino una forma abreviada de representar el número de maneras posibles de ordenar los resultados.

En general, para calcular “n sobre x” se utiliza la siguiente fórmula:

La notación n! (n factorial o factorial de n) indica el número de maneras de reordenar n elementos. Para calcular n! hay que multiplicar n(n–1)(n– 2) … (2)(1). Por ejemplo, 5! es 5(4)(3)(2)(1)=120; 2! es 2(1)=2; y 1! es 1. Por convención, 0! es igual a 1.

Imagina que tienes que pasar por tres semáforos para llegar a tu lugar de trabajo. Supongamos que X es el número de semáforos que encuentras en rojo. ¿Cuántas maneras hay de que encuentres dos semáforos en rojo de camino al trabajo? Bueno, podrías encontrarte en verde el primero y luego los otros dos en rojo; o verde el del medio y rojo el primero y el tercero; o también rojo el primero, rojo el segundo y verde el tercero. Siendo V=verde y R=rojo, puedes escribir estas tres posibilidades de la manera siguiente: VRR, RVR, RRV. Por tanto, hay tres maneras en las que puedes encontrarte dos semáforos en rojo de camino al trabajo, ¿no?

Veamos las operaciones. En este ejemplo, un “intento” es un semáforo, y un “éxito” es encontrarlo en rojo (ya sé que parece raro, pero un éxito es cualquier cosa que estés interesado en contar, sea bueno o malo). Por lo tanto tienes n=3 semáforos en total, y estás interesado en la situación

en que te encuentras x=2 luces en rojo. Utilizando la notación matemática , tenemos que “tres sobre dos” es el número de maneras de ordenar dos éxitos en tres intentos.

Para calcular “3 sobre 2,” haz lo siguiente:

Esto confirma las tres posibilidades arriba mencionadas para encontrarte con dos semáforos en rojo.

Ahora supongamos que los semáforos son independientes entre sí y que cada uno tiene una probabilidad del 30% de estar en rojo. Imagina que quieres encontrar la distribución de probabilidad para X, es decir, una lista de todos los valores posibles de X (0, 1, 2, 3) y sus probabilidades.

Antes de ponerte a hacer cálculos, empieza por comprobar las cuatro condiciones (repasa, si lo necesitas, el apartado “Comprobar paso a paso las condiciones de distribución binomial”) para ver si realmente se trata de una situación binomial. Aquí n=3 intentos (semáforos), compruébalo. Cada intento puede ser un éxito (semáforo en rojo) o un fracaso (semáforo en ámbar o en verde; o dicho de otro modo, semáforo “no rojo”), compruébalo. Los semáforos funcionan de manera independiente, de modo que se cumple la condición de independencia, y como cada luz está encendida el 30% del tiempo, sabes que p=0,30 para cada color. Por tanto, X=número de semáforos en rojo tiene una distribución binomial. Si vamos a las fórmulas, 1–p=probabilidad de un semáforo no rojo=1–0,30=0,70; y el número de semáforos no rojos es 3–X.

Aplicando la fórmula de p(x) se obtienen las probabilidades para x=0, 1, 2 y 3 semáforos en rojo:

La tabla 8-2 muestra la distribución final de probabilidad para X. Observa que todas estas probabilidades suman 1 porque se han incluido y tenido en cuenta todos los valores posibles de X.

Encontrar probabilidades con la tabla binomial

En el apartado anterior manejábamos valores de n bastante pequeños, pero quizá te preguntes cómo te las vas a apañar con la fórmula para calcular probabilidades binomiales cuando n sea una cifra alta. Tranquilo, no hay de qué preocuparse. En la tabla binomial que he incluido en el apéndice encontrarás un montón de probabilidades binomiales. Te explico cómo se usa: dentro de la tabla binomial hay varias minitablas, cada una de las cuales corresponde a un valor diferente de n (encontrarás n=1, 2, 3… 15 y 20). Cada minitabla tiene filas y columnas. Al lado de cada minitabla se encuentran todos los valores posibles de X ordenados desde 0 hasta n, cada uno con su propia fila. Las columnas de la tabla binomial representan distintos valores de p desde 0,10 hasta 0,90.

Encontrar probabilidades para valores concretos de X

Para utilizar la tabla binomial del apéndice con el fin de encontrar probabilidades para X=número total de éxitos en n intentos, siendo p la probabilidad de éxito en cualquier intento, sigue los pasos siguientes:

1. Encuentra la minitabla correspondiente a tu valor de n (el número de intentos).
2. Encuentra la columna que representa tu valor de p (o el valor más próximo al tuyo, si procede).
3. Encuentra la fila que representa el número de éxitos (x) en el que estás interesado.
4. Encuentra la intersección de la fila y la columna de los pasos 2 y 3. De este modo obtienes la probabilidad de x éxitos, expresada como p (x).

Volviendo al ejemplo de los semáforos incluido en el apartado “Encontrar probabilidades binomiales utilizando una fórmula”, puedes utilizar la tabla binomial (tabla A-3 del apéndice) para verificar los resultados obtenidos con la fórmula binomial y recogidos en la tabla 8-2. Ve a la minitabla donde n = 3 y mira en la columna donde p=0,3. Encontrarás cuatro probabilidades: 0,343, 0,441, 0,189 y 0,027; son las probabilidades para X=0, 1, 2 y 3 semáforos en rojo, respectivamente, y coinciden con las que aparecen en la tabla 8-2.

Encontrar probabilidades para X mayor que un valor, menor que un valor o entre dos valores

La tabla binomial (tabla A-3 del apéndice) muestra probabilidades cuando X es igual a cualquier valor desde 0 hasta n, para distintos valores de p. Para encontrar las probabilidades cuando X es menor o mayor que un valor, o se encuentra entre dos valores, basta con encontrar los valores correspondientes en la tabla y sumar sus probabilidades. En el ejemplo de los semáforos, hay que contar el número de veces (X) que te encuentras un semáforo en rojo (de los tres posibles). Cada semáforo tiene una probabilidad de 0,3 de estar rojo, de manera que tienes una distribución binomial con n = 3 y p = 0,3. Si quieres saber la probabilidad de encontrarte con más de un semáforo en rojo, p (x > 1), tienes que sumar p (2) + p (3) de la tabla A-3, con lo que obtienes 0,189 + 0,027 = 0,216.

La probabilidad de encontrarte entre uno y tres semáforos en rojo es p (1≤x≤3)=0,441+0,189+0,027=0,657.

Cuando se trabaja con variables aleatorias discretas, hay que distinguir entre una probabilidad mayor que (>) y una probabilidad mayor o igual que (≥). Volviendo a los dos ejemplos anteriores, puedes ver que p (x>1)=0,216 pero p (x ≥ 1)=0,657. En el caso de las variables aleatorias continuas, esta distinción desaparece (se explica en el capítulo 9).

Otras frases que debes recordar: “como mínimo” significa ese número o uno mayor, y “como máximo” significa ese número o uno menor. Por ejemplo, la probabilidad de que X sea como mínimo 2 es p(x ≥ 2); la probabilidad de que X sea como máximo 2 es p(x≤2).

Comprobar la media y la desviación estándar de la distribución binomial

Como la distribución binomial se utiliza mucho, los estadísticos se pusieron manos a la obra para dar con fórmulas bonitas y sencillas que

permitieran encontrar su media, su variancia y su desviación estándar (es decir, aplicaron los métodos descritos en el apartado “Definir una variable aleatoria” a las fórmulas de distribución binomial, hicieron todos los cálculos matemáticos y nos presentaron los resultados en bandeja de plata. ¿No te parece genial?). Los siguientes resultados son el fruto de esos esfuerzos.

Si X tiene una distribución binomial con n intentos y una probabilidad de éxito p en cada intento, entonces:

1. La media de X es μ=np.
2. La variancia de X es σ^2 =np(1–p).
3. La desviación estándar de X es σ=

Por ejemplo, pongamos que lanzas una moneda al aire 100 veces y X es el número de caras. En ese caso X tiene una distribución binomial en la que n=100 y p=0,5. La media es μ=np=100 (0,50) caras (lo cual tiene sentido, ya que la probabilidad de que salga cara y de que salga cruz es la misma). La variancia de X es σ^2 =np (1–p)=100 (0,5) (1–0,5)=25, que está en unidades cuadradas (de manera que no lo puedes interpretar), y la desviación estándar es la raíz cuadrada de la variancia, o sea, 5. Esto significa que si lanzas una moneda al aire 100 veces, y haces eso repetidamente, el número medio de caras que te saldrán es 50, y cabe esperar que esta cifra varíe 5 caras en promedio.

La fórmula para calcular la media de una distribución binomial tiene un significado intuitivo. La p de la fórmula representa la probabilidad de un éxito, sí, pero también representa la proporción de éxitos que cabe esperar en n intentos. Por tanto, el número total de éxitos que cabe esperar (es decir, la media de X) es μ=np.

La fórmula de la variancia también tiene un significado intuitivo. La única variabilidad en los resultados de cada intento está en el éxito (con probabilidad p) y el fracaso (con probabilidad 1–p). A lo largo de n intentos, la variancia del número de éxitos/fracasos se mide con σ^2 =np (1–p). La desviación estándar no es más que la raíz cuadrada.

Si el valor de n es demasiado grande para calcular probabilidades utilizando la fórmula binomial o la tabla binomial (vuelve a los apartados anteriores de este capítulo), existe una alternativa. Si n es suficientemente grande, puedes utilizar la distribución normal para obtener una probabilidad binomial aproximada. La media y la desviación estándar intervienen en este proceso. Encontrarás los detalles en el capítulo 9.